Призма. Объём призмы

1.

Определение
Призма — многогранник,
составленный из двух
равных n-угольников,
лежащих в параллельных
плоскостях и
n параллелограммов

2.

Прямая призма
Правильная призма

3.

C
Боковые грани призмы —
параллелограммы
B
D
А

4.

Теорема
Объём прямой призмы равен
произведению площади
основания на высоту
V = Sосн. · h

5.

Теорема
Объём прямой призмы равен произведению площади основания
на высоту
C1
Дано:
Прямая призма
Доказать: V = Sосн. · h
Доказательство:
1) ВСDВ1С1D1 — прямая призма
AC ⏊ BD
(CAA1) ⏊ (BCD)
V1 — объём призмы BCAB1C1A1
V1 = SBCA · h
V2 — объём призмы ACDA1C1D1
V2 = SACD · h
V = V1 + V2= SBCA · h + SACD · h =
= h (SBCA + SACD) = h · SBCD
2) n-угольная прямая призма
Sосн. — площадь основания
h — высота призмы
B1
A1
D1
h
С
S2
B
A
D
V1, V2, V3 … Vn–2 — объёмы
треугольных призм
S1, S2, S3 … Sn–2 — площади
оснований треугольных призм
V = V1 + V2 + V3 + … + Vn–2 =
= S1 · h + S2 · h + S3 · h + … + Sn–2 · h =
= h · (S1+ + S2 + S3 + … + Sn–2) = Sосн. · h
S1
S3
V = V1 + V2 + V3
V1 = S1 · h, V2 = S2 · h, V3 = S3 · h
V = S1h + S2h + S3h = h (S1 + S2 + S3)
Sосн. = S1 + S2 + S3
V = Socн. h
Теорема доказана

6.

Задача 1
Дано:
Правильная n-угольная призма
а — ребро призмы
а) n = 3
б) n = 4
в) n = 6
г) n = 8
Найти: V
Решение:
a) n = 3
V = Sосн. · h
б) n = 4
в) n = 6
V = Sосн. · h
г) n = 8
V = Sосн. · h

7.

Задача 2
Дано:
АВСА1В1С1 —
правильная треугольная призма
а — сторона призмы
(ABC1) — сечение
(ABC1)^(АВС)= 60°
Найти: V
Решение:
СК ⏊ АВ
С1К ∈ (AC1B)
С1К ⏊ АВ, ∠С1КС = 60°
A1
C1
B1
A
C
60°
a
K
B