Поток вектора E

1.

Поток вектора E
Обозначается E и определяется
числом силовых линий,
пронизывающих поверхность S .

2.

Если линии перпендикулярны
поверхности, а поле однородно,
то просто
S
E
E E S

3.

Если поле неоднородно, то
поверхность S надо разбить на
участки dS настолько малые, чтобы
в пределах этих участков поле
можно было считать однородным.
dS
S
E

4.

Такие очень малые плоские
площадки dS называют
элементарными, а поток
сквозь них – элементарным
потоком dФ.

5.

Вектор E может составлять с площадкой
любой угол. Тогда его раскладывают на
две компоненты: En и E .
dS
E
n En
E
En создает поток,
En
E не создает потока.
E cos

6.

Элементарный поток
d E En dS E dS cos
угол между вектором E и
нормалью к площадке n
d E En dS

7.

E n проекция вектора E
на
направление нормали
к площадке.
Именно ее значение
определяет
величину потока.

8.

Введем такой вектор dS , чтобы
его модуль был равен величине
площади, а направление
совпадало с вектором нормали n .
n
dS
dS dS n
E
d E E dS cos ( E dS )

9.

К плоской площадке
нормаль можно провести в
любую сторону.
И так
n
, и так
n
.

10.

К замкнутой поверхности
нормали проводят наружу.
n

11.

Поток м. б. и + , и -, и 0 в
зависимости от угла между
n и E.
n
n
E
E
n
E
0, d E E dS
, d E E dS
2
, d E 0

12.

n
E
Силовые линии, входящие внутрь
замкнутой поверхности, создают
отрицательный поток, а выходящие положительный поток.

13.

Чтобы найти поток через всю
поверхность S, надо
интегрировать:
E d E E dS cos
S
S

14.

Часто это сложная
задача, так как и угол, и
величина напряженности в разных точках
поверхности могут быть
разными.

15.

Теорема Гаусса
Поток вектора E сквозь
замкнутую поверхность равен
суммарному заряду внутри
объёма, ограниченного
этой поверхностью,
делённому на 0 .

16.

Ε
S
E dS
q
0

17.

Что дает эта теорема?
1. Утверждает, что
электростатическое
поле имеет источники,
которыми являются
заряды.

18.

Когда заряд попадает внутрь
поверхности S – есть поток,
А когда не попадает – нет потока
(сколько линий вошло, столько и
вышло).

19.

Положительный заряд
создает положительный
поток (источник поля), а
отрицательный заряд –
отрицательный поток (сток
поля).

20.

Не любое поле
имеет источники.

21.

2. В некоторых случаях
теорема Гаусса позволяет
очень просто рассчитать
напряженность поля.
Этих случаев мало. Поток должен
легко находиться. Для этого нужна
высокая степень симметрии поля.

22.

Расчет полей по теореме
Гаусса
Кроме E найдем
разность потенциалов
двух точек поля.

23.

1. Поле точечного заряда.
Видно, что поток через любую поверхность
одинаков (число линий одно и то же).

24.

Проще всего найти поток
через сферу, т.к.
1) в каждой точке сферы
Е одинакова;
2) угол между E и n
равен нулю.

25.

Ε
E dS
S
E dS E dS
S
S
площадь
сферы
dS
S
4
r
2
S
Ε E 4 r
2
А по теореме Гаусса
Ε
q
0

26.

Приравниваем правые части:
E 4 r
2
E
q
0
q
4 0 r
2

27.

q
E k 2
r
Пришли к известной формуле
напряженности.
Теорема Гаусса – полевая
формулировка закона
Кулона.

28.

Найдем разность потенциалов
двух точек поля точечного заряда:
q 1 1
1 2 E dr
dr
2
4 0 r
4 0 r1 r2
r1
r1
r2
r2
q
1 1
1 2 kq
r
r
1 2

29.

Потенциал поля
точечного заряда
q
k
r

30.

2. Поле равномерно заряженной сферы
Сфера с
зарядом q
радиуса R
r
r
R
Замкнутые
поверхности
радиуса r
E

31.

1) При r R замкнутая поверхность
не содержит зарядов, поэтому внутри
сферы E 0.
2) При r R так же, как и для точечного
заряда по теореме Гаусса
E 4 r
2
E
q
0
q
4 0 r
2

32.

3. Поле двух концентрических сфер
Поле внутри малой и вне
большой сферы равно
нулю. Между сферами
E
q
4 0 r
2

33.

4. Поле равномерно заряженного шара
Шар с
зарядом q
радиуса R
r
r
R
Замкнутые
поверхности
радиуса r
E

34.

1) При r R поле такое же, как у сферы
и точечного заряда
E
q
4 0 r
2
2) При r R нужно рассчитать, какой
заряд попадает внутрь малой
замкнутой сферической поверхности.

35.

Объемная плотность заряда шара:
q
q
3q
3
4
V
4
R
3
R
3
4 3
Объем внутри малой сферы: V r
3
Заряд внутри малой сферы:
q V
4 3 3 q 4 3
r
q r
r q
3
3
4 R 3
R
3

36.

Применяем теорему Гаусса
E E 4 r и E
2
q
0
q r
E 4 r
0 R
2
E
q
4 0 R
3
r
3

37.

В центре шара Е=0. Затем
Е линейно растет по мере
удаления от центра к
границе шара. Вне шара
напряженность поля
шара та же, что и у
точечного заряда.

38.

5. Поле бесконечной нити (цилиндра)
E
Sбок
l
r
замкнутая поверхность
длины l, радиуса r
нить с плотностью
заряда λ

39.

Поток через “донышки”
цилиндра равен нулю.
Поток через боковую
поверхность Sбок:
E E Sбок E 2 r

40.

По теореме Гаусса
E
0
E 2 r
0
E
2 0 r

41.

Найдем разность потенциалов
между точками поля, находящимися
на расстояниях r1 и r2 от нити:
1 2 E dr
dr
ln r2 ln r1
2 0 r
2 0
r
r
r2
r2
1
1
r2
1 2
ln
2 0 r1

42. 6. Поле двух коаксиальных цилиндров

Между цилиндрами
E
2 o r
Внутри малого и вне
большого цилиндров
напряженность равна
нулю.

43.

7. Поле бесконечной равномерно
заряженной плоскости
Теперь поток через боковую поверхность
равен нулю. А поток через каждое
донышко равен E S .

44.

E
EdS 2 ES
S
По теореме Гаусса
S
E
0 0
q
S
2 ES
0

45.

E
2 o
Поле бесконечной плоскости
не зависит от координат
(однородно).

46.

1 2 E dr
dr
r2 r1
2 0
2 0
r
r
r2
r2
1
1
1 2
r2 r1
2 0

47. 8. Поле двух плоскостей

E E E

48.

Снаружи плоскостей поле
равно нулю.
E E E 0
Между плоскостями поле
усиливается в два раза.
E E E
0

49.

Напряженность Е
Точечный заряд,
сфера (снаружи),
шар (снаружи)
q
4 0 r
2
Разность потенциалов
1- 2
q 1 1
4 0 r1 r2
qr
4 0 R 3
2 o r
q( r22 r12 )
8 0 R 3
r2
ln
2 0 r1
Сфера (внутри),
цилиндр (внутри)
0
const.
Плоскость
E
2 o
r2 r1
2 0
Шар (внутри)
Нить,
цилиндр(снаружи)