Понятие потока вектора. Теорема Гаусса

1. ПОНЯТИЕ ПОТОКА ВЕКТОРА

• Рассмотрим некоторую замкнутую
поверхность в электрическом поле
E

2.

• Разобьем эту поверхность на элементарные
площадки, каждую из которых можно считать
плоской, а вектор напряженности на ней не
изменяется
E
n
S j S j n

3. Поток вектора напряженности через площадку ∆S

j E S j E S j cos
Поток вектора напряженности через всю
замкнутую поверхность S
S
E dS

4. Поле перпендикулярно площадке – поток максимальный

E
n
E S E S cos
E S cos 0
E S

5. Поле параллельно площадке – поток равен 0

n
E
E S E S cos
E S cos 90 0

6. ТЕОРЕМА ГАУССА

7. Теорема Гаусса

• Поток вектора напряженности через любую
замкнутую поверхность равен алгебраической
сумме зарядов, заключенных внутри данной
поверхности, поделенной на электрическую
постоянную.
qi
E dS
s
0

8. Напрерывное распределение заряда

1
E dS ( x, y, z )dV
s
0
V
1
E dS ( x, y)dS
0
s
S
1
E dS (l )dl
s
0
L

9. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ГАУССА ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ВАКУУМЕ

10. ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ СФЕРЫ

• Заряд на сфере +Q, радиус сферы R.
ПОЛЕ
СНАРУЖИ СФЕРЫ r>R
E
R
E
r
d ( E dS )
dS
E dS cos 0
E dS

11.

qi
E dS E dS
0
s
s
E - постоянна на выбранной поверхности интегрирования
E dS E dS
q Q
S
S
i
0
0
Q
dS 4 r
2
S
E 4 r
2
kQ
1
E
,
k
2
2
4 0 r
r
4 0
Q
0

12. ПОЛЕ ВНУТРИ СФЕРЫ r<R

ПОЛЕ ВНУТРИ СФЕРЫ r<R
q
i
0
R
r
0
0
Заряд расположен на внешней сфере
радиуса R, внутри сферы радиуса r
заряда нет
E dS 0
s
Q
E 0

13. Напряженность поля заряженной сферы

E
Eout
kQ
2
r
Ein 0
R
r

14. Потенциал поля равномерно заряженной сферы

Ein 0
Eout
kQ
2
r
in Ein dr 0 const1
kQ
out Eout dr 2 dr
r
kQ
const 2
r

15.

• Одна из констант выбирается произвольно
• Определяет начало отсчета
• Вторая – из условия непрерывности потенциала
на границе областей
in (r R) = out (r R)
r , out (r ) 0
const 2 0

16.

условие непрерывности потенциала
на границе областей
kQ
const1
const 2
R
kQ
const1
R

17. Потенциал поля сферы

kQ
in R , r R
kQ , r R
out
r

18. Потенциал поля заряженной сферы

kQ
in
R
out
R
kQ
r
r

19. ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОГО ШАРА

• Объемная плотность заряд шара + , радиус
R.
ПОЛЕ СНАРУЖИ шара r>R
АНАЛОГИЧНО
ПОЛЮ СНАРУЖИ
СФЕРЫ
4 3
R
Q
3
E
=
2
2
4 0 r
4 0 r
R
3 0 r 2
3

20. ПОЛЕ ВНУТРИ шара r<R

ПОЛЕ ВНУТРИ шара r<R
R
4 3
r
q
i 3
0
r
4 3
r
E 4 r 2 3
0
0
r
E
3 0

21. Напряженность поля заряженного шара

E
Eout
r
Ein
3 0
R
kQ
2
r
r

22. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

• Поверхностная плотность заряда +σ
E
2 осн бок

23.

• Поток через боковую поверхность цилиндра
dS
бок
s
E
E
dS
cos
E dS
2 0
S

24.

• Поток через основание
r
осн
s
E
dS
E dS E dS cos0
E dS E r
S
S
2

25.

• Сумма зарядов внутри цилиндра
Q
Q R
2

26. Напряженность равномерно заряженной плоскости

qi
E dS
s
0
2 осн бок
r
2 E r
0
2
2 E r 0
2
2
E
2 0

27. Напряженность поля равномерно заряженной плоскости

E
2 0
х

28. Напряженность поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра

• Объемная плотность заряда в цилиндре ρ, радиус
цилиндра R
• Поле снаружи цилиндра ( r >R)
R
r
E
2 осн бок

29. Поток через боковую поверхность цилиндра радиуса r

dS
r
h
бок
s
E
E dS E dS cos0
S
E 2 rh

30. Поток через основание цилиндра радиуса r

dS
r
E
h
бок
s
E dS E dS cos
2
S
0

31. Сумма зарядов внутри цилиндра

R
r
Q
Q R h
2

32.

Напряженность равномерно
заряженного бесконечного
цилиндра
qi
E dS
s
0
2 осн бок 0 E 2 rh
2
2
R h
R 1
E 2 rh
Eout
0
2 0 r

33. Напряженность поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра

Поле
внутри цилиндра (
r
h
R
E
r < R)
2 осн бок
осн 0
бок E 2 rh

34.

Сумма зарядов внутри цилиндра
r
h
R
Q r h
2

35.

qi
E dS
s
0
2 осн бок 0 E 2 rh
r h
E 2 rh
0
2
r
Ein
2 0

36. Напряженность поля бесконечного равномерно заряженного цилиндра

E
Ein
Eout
~ 1/ r
~ r
R
r

37.

Напряженность равномерно
заряженного бесконечной нити
Линейная плотность заряда нити
r
E

38.

2 осн бок 0 E 2 rh
h
E 2 rh
0
1
2 0 r
2
Eout
2k
r

39. Теорема Гаусса в дифференциальной форме

• Пусть заряд распределен в некоторой
области пространства с плотностью ρ
Рассмотрим
поток вектора
напряженности через замкнутую
поверхность, когда ее объем
стремится к нулю

40.

1
E dS ( x, y, z )dV
s
lim
V 0
0
V
1
E dS lim ( ( x, y, z )dV )
s
lim
V 0
V 0
0
V
E dS divE
s
Ex E y Ez
divE
x
y
z
дивергенция

41.

lim ( ( x, y, z )dV )
V 0
0
0
V
1
divE
0
ТЕОРЕМА ГАУССА В
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

42.

• Дивергенция напряженности электрического
поля в данной точке зависит только от
локальной плотности заряда.
Там,
где div E положительна – имеем
положительные заряды – источники
поля
Там, где div E отрицательна – имеем
отрицательные заряды –стоки поля.
Линии
вектора напряженности идут от
истоков к стокам ( от положительных
зарядов к отрицательным)

43. CПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ