Решение уравнения cosx = a. Понятие арккосинуса числа

1.

Решение уравнения cosx = a.
Понятие арккосинуса числа.

2.

Уравнение cosx=a
y 1
cos x a; a 1.
x 2 k ;
0
а
1
x
x 2 k ;
k Z.
arccos a

3. АРККОСИНУС ЧИСЛА

Определение. Арккосинусом числа
называется такое число
a 1;1
0; , косинус которого
равен
а.
cos arccos a a,
0 arccos a ,
1 a 1

4. АРККОСИНУС ЧИСЛА

• Например
2
arccos
;
4
2
arccos 0
2
3
arccos
;
6
2
т.к.
2
0 ; cos .
4
4
2
т.к.
0 ; cos 0.
2
2
т.к.
3
0 ; cos .
6
6
2

5. АРККОСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

arccos a arccos a
arccos a
-а
y 1
0
arccos a
а
1
x

6. АРККОСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
2
1
2 arccos
2
2
2
1
3 arccos
2( arccos ) 3 2 ( )
2
2
4
3
7
3 4
12
4
3
1
3
1
2. arccos
2 arccos( 1) arccos 0
2
2
3
1. 3 arccos
1 5
17
1
3
1
( arccos ) 2 2
2
2
3 2 2 6
6
12

7. АРККОСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

2
sin 1 cos
arccos а
arccos a 0;
sin arccos a 1 cos arccos a 1 a
2
sin(arccos a )
1 a
tg (arccos a)
cos(arccos a)
a
2
2

8.

АРККОСИНУС ЧИСЛА
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
cos arccos a a, arccos a 0; , a 1;1
arccos a arccos a
arccos cos , 0;
2
sin arccos a 1 a
1 a
tg (arccos a)
a
2

9. АРККОСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
2
1. cos arccos
2
cos(arccos a) = a
3
sin
3. sin arccos
2
6
4.
3
sin arccos
7
40
2 10
49
7
5 5
2. cos arccos
9 9
2
2
1
2
2
3
1
7
9
1
49
sin arccos a 1 a 2

10. АРККОСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
2
21
5. ctg 7 arccos(
) ctg (7 ( )) ctg
2
4
4
1
ctg 5 ctg 1
4
4
1
sin arccos
1
4
6. tg arccos
4 cos arccos 1
4
1
1
4
1
16
15
4 15
16

11. АРККОСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
7.
8.
arccos cos , 0;
2
2
arccos cos
5
5
8
3
arccos cos arccos cos
5
5
3
3
3
arccos cos arccos cos
5
5
5
2
5

12. Уравнение cosx=a

y1
cos x a, a 1
arccos a
x arccos a 2 n, n Z
1
0
a
x
arccos a
cos x 0
x k , k Z
2
cos x 1
cos x 1
x 2 k , k Z
x 2 k , k Z

13. Уравнение cosx=a

• Пример 1.
1
cos 3 x ;
2
1
3 x arccos 2 k ;
2
3 x 2 k ;
3
2 k
x
, k Z.
9
3

14. Уравнение cosx=a

Пример 2.
x
3
сos
;
4
2
x
3
2 k ;
arccos
4
2
x
3
arccos 2 k ;
4
2
x
2 k ;
4
6
x
5
2 k ;
4
6
10
x 8 k , k Z .
3

15. Уравнение cosx=a

• Пример 3.
1
cos x
4
2
1
x
arccos
2 k ;
4
2
1
x arccos
2 k ;
4
2
x 2 k ;
4 4
x 2 k
3
x 2 k ;
, k Z.
x 2 k
4
4
2

16. Уравнение cosx=a

• Пример 4.
3sin 2 x 3 2 cos x 1 0
3 sin 2 x 3 0;
sin 2 x 1;
2 x 2 k ;
2
x k , k Z .
4
2
2 cos x 1 0;
1
cos x ;
2
1
x arccos 2 n;
2
x 2 n;
3
2
x 2 n, n Z .
3

17. Уравнение cosx=a

• Пример 5.
cos 5 x cos 7 x cos 6 x
cos 5 x cos 7 x cos 6 x
2 cos 6 x cos x cos 6 x 0
cos 6 x 2 cos x 1 0
2 cos x 1 0
cos 6 x 0
1
cos x
2

18. Уравнение cosx=a

• Пример 4.
cos 5 x cos 7 x cos 6 x
cos 6 x 0
6 x k
2
k
x , k Z.
12 6
2
1
cos x
2
1
x arccos 2 n
2
2
x 2 n, n Z .
3