Объем прямоугольного параллелепипеда

1.

2.

c
a
V
b

3.

Теорема
Объём прямоугольного
параллелепипеда равен произведению
трёх его измерений
V = abc

4.

Теорема
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению
трёх его измерений — V = abc
Дано:
параллелепипед
а, b, c — его измерения
V — объём параллелепипеда
Доказать: V = abc
Доказательство:
1) а, b, c — конечные десятичные дроби
n — число знаков после запятой (n ≥ 1) ⇒
⇒ а . 10n , b . 10n, c . 10n — целые
an ≤ a ≤ an'
bn ≤ b ≤ bn'
cn ≤ c ≤ cn'
anbncn ≤ abc ≤ an'bn'cn'
Vn = anbncn
Vn'= an'bn'cn'
anbncn ≤ V ≤ an'bn'cn'
⇒ anbncn = V = an'bn'cn' ⇒
⇒ V = abc
2) a, b, c — бесконечная десятичная дробь
аn, bn, cn — конечные десятичные дроби
an < a < an'
(1)
a
(2)
c
cn
an
Теорема доказана
cn'
bn
an'
b
bn'

5.

Следствие 1
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади
основания на высоту
c
S = ab
a
b
V = Sосн. · h
Следствие 2
Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный
треугольник, равен произведению площади основания на высоту
B1
A1
B
A
C1
C
Sосн. = 2SABC

6.

Задача 1
Дано:
3
прямоугольный параллелепипед
(измерения указаны на рисунке)
Найти: V
4
1
Решение:
V = abс
V1 — объём полного параллелепипеда
с измерениями 4, 3, 3
V2 — объём малого «вырезанного»
параллелепипеда с измерениями 3, 1, 1
V — объём данного многогранника
V1 = a1 · b1 · c1 = 3 · 3 · 4 = 36
V2 = a2 · b2 · c2 = 3 · 1 · 1 = 3
V = V1 – V2 = 36 – 3 = 33
Ответ: V = 33
3
1

7.

Задача 2
C1
B1
Дано:
АВСDА1В1С1D1 — прямоугольный
параллелепипед
B1D = 6 см, ∠B1DB = 30°
Двугранный угол А1В1ВD = 60°
Найти: V
D1
A1
6 см
B
Решение:
C
30°
60°
1)
⇒ ∠AВD = 60°
A
D
3) ∆ABD — прямоуг., ∠ABD = 60° ⇒
∠ADB = 180° – 90° – 60° = 30° ⇒
2)
⇒ BB1 = 6 : 2 = 3 см
BD2 = AB2 + AD2
B1D2 = B1B2 + BD2
4) V = abс