Число π и длина окружности. Длина дуги окружности. Радианная мера угла

1. Число π и длина окружности. Длина дуги окружности. Радианная мера угла.

2. Представим, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити. Разрежем нить в произвольной точке А и распрямим нить.

А
А1
Длина полученного отрезка АА1 и
есть длина окружности.

3.

Приближённым
значением
длины
окружности является периметр любого
правильного вписанного в окружность
многоугольника.
Чем больше число сторон у вписанного в
окружность правильного многоугольника, тем
точнее получим длину окружности, т.е.
многоугольник будет плотнее прилегать к
окружности.
Таким образом, можно сделать следующее
заключение. Точное значение длины окружности – это
предел, к которому стремится периметр правильного
вписанного в окружность многоугольника, при этом
количество сторон его может быть неограниченно
большим.

4. Расчет стороны правильного n-угольника , где an – длина стороны n-угольника; R – радиус описанной окружности; n – количество

сторон многоугольника.
Применяя эту формулу, выразим длину окружности через её
радиус.
Допустим, что С и С' длины окружностей, с радиусами,
соответственно R и R'.
В каждую окружность условно впишем правильный n-угольник с
периметрами Pn и P'n.
Соответственно стороны многоугольников обозначим an и a'n.
Получим следующие формулы периметров многоугольников:
- для первого многоугольника –
- для второго многоугольника –
Из данных формул следует равенство:

5.

Данное равенство будет справедливо при любом количестве сторон
правильного многоугольника.
При бесконечном увеличении количества, сторон многоугольника
предел периметра будет стремиться к длине окружности –
,
Таким образом, можно сделать вывод, что предел отношения
периметров будет равен пределу отношения длин окружностей:
Используя равенство (1) получим:
Таким образом, отношение длины окружности к
её диаметру есть одно и то же число для всех
окружностей. Такое число принято обозначать
греческой буквой π.

6.

Формула вычисления длины окружности
радиусом R будет записана следующим
образом:
,
.
Число π является бесконечной непериодической
десятичной дробью. При решении задач и в
практической деятельности, пользуются
приближенным значением числа π с точностью до
одной сотой: число
.

7.

Формула длины дуги l с произвольным углом α
Так как длина всей окружности равна
.
, то длина дуги в 1° равна
Длина дуги l с произвольным углом
:

8. Радианная мера угла

– отношение длины
соответствующей дуги к радиусу окружности.
Радиан – единица радианной меры углов.

9.

10.

11. Задание 1. Длина окружности больше диаметра в:

12. Задание 2. Найдите длину окружности, радиус которой равен 36 см. Число π округлите до сотых.

Варианты ответов:
а) 318,07 см;
б) 121,3 см;
в) 116,18 см;
г) 226, 08 см.
Ответ: г) 226, 08 см.

13. Задание 3. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен 150°?

Варианты ответов:
а) 12 ;
б) 16;
в) 8;
Ответ: а) 12.
г) 18.

14. Задание 4. Длина дуги окружности с радиусом 12 см и градусной мерой 100 равна:

Варианты ответов:
а)
;
б)
; в)
Ответ: б)
.
;
г)
.

15. Задание 5. Найдите углы правильного n-угольника, если n = 10.

Задание 5. Найдите углы
правильного n-угольника, если n = 10.
Варианты ответов:
а) 150°;
б) 144°;
Ответ: б) 144°.
в) 105°;
г) 135°.

16. Задание 6. Какое слово требуется убрать для того, чтобы получилось верное утверждение? Чем больше число правильных сторон у 

Задание 6. Какое слово требуется
убрать для того, чтобы получилось
верное утверждение?
Чем больше число правильных сторон у
вписанного в окружность правильного
многоугольника, тем точнее получим
длину окружности.
Ответ:
Чем больше число правильных сторон у
вписанного в окружность правильного
многоугольника, тем точнее получим
длину окружности..

17. Задание 7. Найдите градусную меру угла, если его радианная мера равна .

Варианты ответов:
а) 150°;
б) 30°;
в) 180°;
Ответ: а) 150°.
г) 45°.

18. Реши задачи:

1. Найдите длину окружности, радиус которой
равен 24 см. Число π округлите до сотых.
2. Рассчитайте диаметр дачного бассейна, если
длина окружности составляет 8 метров.
3. Найдите градусную меру угла, если его
радианная мера равна .

19. Домашнее задание:

Выучить формулы,
решить №1101, 1109