Формальное решение в обозначениях Дирака

1.

Задача
Электрон находится в состоянии с определённой проекцией спина на направление
n sin cos ,sin sin ,cos
Измеряется проекция спина на ось Ox. Найти возможные значения указанной
проекции, получаемые в результате эксперимента и вероятности их измерения.
Решение в обозначениях Дирака
Кет-вектор состояния электрона
j s 1/ 2, jn sn 1/ 2 sn 1/ 2
z
s 1/ 2, sx sx
Уравнения на собственные значения
sˆn sn sn sn , sˆx sx sx sx
Принцип суперпозиции
n
y
x
Собственные кет-векторы оператора ˆjx sˆx
sn 1/ 2 Cs x s x
s x
Вероятность измерить значение s x равна
w s x Csx
2

2.

Формальное решение в обозначениях Дирака
Домножим на бра-вектор
sx sn 1/ 2 Cs x sx s x Cs x sx s x Csx
s x
s x
Осталось придать смысл значкам
ˆ ,
sˆx , sˆn sn
sn 1/ 2 ,
sx
и решить уравнения на собственные значения
snˆ s s s , sˆ s s s
n
n
n
x
x
x
x
Единственное представление, в котором «значкам» Дирака можно придать смысл,
является матричное ss z -представление.

3.

Решим уравнение
snˆ s s s
n
n
n
Найти явный вид оператора sˆn (использовать формулу Эйлера)
sˆn nx sˆx ny sˆy nz sˆz

4.

Явный вид оператора sˆn
sin cos 0 1 sin sin 0 i cos 1 0
sˆn
1
0
i
0
0
1
2
2
2
Или
1 cos
sˆn
2 sin ei
sin e i
cos
Записать уравнение в матричном виде
snˆ s s s
n
n
n

5.

Матричное уравнение
cos
i
sin
e
sin e i a
a
cos b
b
Система уравнений
cos a sin e i b 0
i
sin e a cos b 0
Собственные значения и векторы?

6.

Собственные значения
cos sin 0 1
2
2
2
Собственные векторы
1 b
1 cos i
e a tan ei a
sin
2
Условие нормировки?

7.

Условие нормировки
a b 1
2
2
2
a 1 tan 1
2
2
a cos
2
Выбираем соответствующую фазу и получаем
cos 2
sn 1/ 2
sin ei
2
Найти второй собственный вектор?
2
2

8.

Второй собственный вектор
sin 2
sn 1/ 2
cos ei
2
Поверить ортогональность?
sn 1/ 2 sn 1/ 2 ?

9.

Ортогональность
cos
i
2
sn 1/ 2 sn 1/ 2 sin , cos e
0
2
2
sin ei
2
Решить уравнения на собственные значения?
sˆx sx sx sx

10.

Решение уравнения
sˆx sx sx sx
можно получить, если в предыдущей задаче положить
, 0 n 1,0,0
2
Таким образом
1 1
sx 1/ 2
1 ,
2
1 1
sx 1/ 2
1
2
Найти вероятности
w sx sx sn 1/ 2
2
?

11.

Ответ
w sx 1/ 2 sx 1/ 2 sn 1/ 2
2
1
cos sin ei
2
2
2
w sx 1/ 2 sx 1/ 2 sn 1/ 2
2
2
1
cos sin ei
2
2
2
Проверить нормировку
2

12.

Общий вид спиновой волновой функции (спинора)
Спинор – двухрядный столбец
a
ss z s
b
Следствие условия нормировки
a b 1
2
2
a cos , b sin
a cos ei a , b sin ei b
Или
cos
ssz s e
, b a
i
sin e
i a
Следствие: для любого спинора всегда можно найти направление, проекция спина на
которое будет иметь определённое значение!