Розв’язування трикутників

1.

2. Розв’язування трикутників

Розв’язати трикутник — означає за відомими
його сторонами і кутами знайти невідомі його
сторони і кути.
Задачі на розв’язання трикутників поділяються на
такі види:
1. Розв’язання трикутника за відомими стороною і двома
кутами.
2. Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і
кутом між ними.
3. Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і
кутом, протилежним до однієї з них.
4. Розв’язання трикутника за відомими трьома сторонами.

3. Розв’язання трикутника за відомими стороною і двома кутами

План розв’язання:
- Знаходимо третій кут трикутника,
враховуючи, що сума всіх внутрішніх кутів
трикутника дорівнює 180°.
- Записуємо теорему синусів для цього
трикутника і, обираючи попарно
співвідношення сторін і протилежних до них
кутів, знаходимо дві інші сторони трикутника.

4. Приклад (за стороною і прилеглими до неї кутами)

A
Дано: ВС=а, В= , С= .
?
Знайти: АС, АВ, А.
?
?
Розв’язання
1. А=1800-( + ),
B
2. За теоремою синусів
BC
AC
;
sin A sin B
3.
AC
a sin B
sin A
BC
AB
a sin
; AB
sin A sin
sin A
a
C

5. Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом між ними

План розв’язування:
- За теоремою косинусів знаходимо третю
сторону.
- За наслідком із теореми косинусів знаходимо
косинуси невідомих кутів трикутника, а по
можливості і самі кути.
Зверніть увагу!
Це можна зробити і за допомогою теореми синусів.

6. Приклад (за двома сторонами і кутом між ними)

A
Дано: ВС=а, АС=b, С= .
?
Знайти: АВ, А, В.
?
b
Розв’язання
1. За теоремою косинусів
c 2 a 2 b 2 2ab cos ;
B
c a 2 b 2 2ab cos
a 2 c2 b2
2. cos B
,
2ac
3. A 1800 ( B C ).
?
a
C

7. Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них

План розв’язування:
- За теоремою синусів знаходимо кут, протилежний до
другої відомої сторони.
При цьому зверніть увагу, що одному і тому ж
значенню синуса кута відповідають два кути —
гострий і тупий, суміжний із цим гострим кутом.
Враховуйте, що проти більшої сторони лежить
більший кут.
- Знаходимо третій кут трикутника.
- За теоремою синусів знаходимо третю сторону
трикутника.
Зверніть увагу!
Ця задача може мати два розв’язки.

8. Приклад (за двома сторонами і кутом, протилежним одній з них)

Дано: ВС=а, A= , AС=b.
A
Знайти: АB, C, B.
?
Розв’язання
1. За теоремою синусів
a
b
b sin
; sin B
sin A sin B
a
B
b
?
?
a
b sin
Увага! З рівності
, як правило, знаходять два
a
значення кута В, тому задача може мати два розв’язки.
sin B
2. C 1800 ( B),
BC
AB
a sin C
3.
; AB
sin A sin C
sin
C

9. Розв’язання трикутника за відомими трьома сторонами

План розв’язування:
- За наслідком із теореми косинусів знаходимо
один із кутів трикутника.
- За теоремою синусів знаходимо два інших
кути трикутника.

10. Приклад (за трьома сторонами)

Дано: ВС=а, АВ=c, AС=b.
A
Знайти: А, B, C.
?
с
Розв’язання
1. За теоремою косинусів
a b c 2bc cos A;
2
2
2
b2 c2 a 2
cos A
2bc
B
b
?
?
a
Увага! З цієї рівності, як правило, знаходять два значення кута В,
тому задача може мати два розв’язки.
a2 c2 b2
2. cos B
2ac
3. C 1800 ( A B ).
C

11. Розв’язування задач

Рівень А.
Задача 1.
Дві сторони трикутника дорівнюють 1 см і 2 см, а кут між ними 45°.
Знайдіть третю сторону трикутника.
С
Розв’язання.
Нехай АС=1см, АВ= 2 см, тоді ∠А= 45°
Використовуючи теорему косинусів маємо:
ВС² = АВ ² + АС ² – 2 АВ ·АС cosА .
А
ВС ² = 2+ 1 - 2 ·1· cos 45° = 5
ВС = ± 5
- 5 не задовольняє умові задачі. Отже, ВС= 5 см
Відповідь: 5 см
45°.
2 см
В

12. Розв’язування задач

Задача 2.
Знайди кут М трикутника МNК,якщо МN= 8 см, NK=7 см,
MK=3 см.
Розв’язання.
Використовуючи теорему косинусів маємо:
NK² = MN ² + MK ² – 2MN ·MK· cos M;
49 = 64 + 9 - 2 ·8 ·3 cos M ;
48 cos M=24;
М
cos M=24∕48 =1∕2, тоді ∠М=60°
Відповідь: 60°
N
3см
К

13. Розв’язування задач

Рівень Б.
Задача 3.
Одна зі сторін паралелограма на 1 см довша за іншу, а діагоналі
дорівнюють 7 см і 11 см. Знайди сторони паралелограма.
Х+1
Розв’язання.
Нехай одна сторона дорівнює х см, тоді інша (х+1)см.
За властивістю діагоналей маємо: 72+112=2x2+2(x+1)2
49+121=2x2+2x2+4х+2
4x2 +4х-168=0
x2+х-42=0
За теоремою Вієта Х1=6, Х2=-7
Х=-7 – не задовольняє умови задачі, тому х=6, х+1=7. Отже, одна
сторона паралелограма дорівнює 6 см, а інша – 7см.
Відповідь: 6 см, 7 см.

14. Розв’язування задач

Рівень В.
Задача ( теорема Стюарта)
Якщо а, в, с – сторони трикутника АВС і точка D ділить
сторону ВС на відрізки BD a1 , CD a2 , то
a1b 2 a 2 c 2 aa1 a 2
AD
a
Розв’язання.
Нехай ADC , тоді ADB 180
2
Застосувавши теорему косинусів для трикутників
А
АDC і АDВ маємо:
AC 2 AD 2 CD 2 2 AD CD cos ;
С
а2
D
В
а1
AB 2 AD 2 DB 2 2 AD DB cos(180 );
b 2 AD 2 a 22 2 AD a 2 cos (1);
c 2 AD 2 a12 2 AD a1 cos (2).

15. Розв’язування задач

Помноживши рівність (1) на а₁, а рівність (2) на а₂ і
почленно додавши маємо:
a1b 2 a2 c 2 AD 2 a1 CD 2 a1 2 AD CD a1 cos AD 2 a2 DB 2 a2 2 AD DB a2 cos
AD 2 a1 a2 a22 a1 2 AD a2 a1 cos a12 a2 2 AD a2 a1 cos aAD 2 a1a2 (a2 a1 )
aAD 2 a1a2 a3 .
Отже:
2
2
a
b
a
c
aa1a2
2
AD 2 1
a
Що і треба було довести.