Подібні трикутники

1.

T
K
P
E
D
H
Черкаська приватна загальноосвітня
школа “Софія”
вчитель математики
Ратушна Аліна Валеріївна

2.

Усім нам часто доводиться мати справу з предметами
однакової форми, але різних розмірів.
Наприклад: зменшена модель автомобіля схожа на
справжній автомобіль. Але їх розміри відповідно
пропорційні.

3. У геометрії знак подібності використовується часто і позначається

Трикутник
АВС знак
подібний
трикутнику
У геометрії
подібності
КРТ
використовується
часто і
позначається
ABC ~ TKP
В
~
Т
А
С
К
Р

4. Подібні трикутники

Два трикутники називаються
,
якщо в них відповідні кути рівні й відповідні
сторони пропорційні.
С1
АВ
ВC
АС
k
А1 В1 В1С1 А1С1
ΔАВС ~ ΔА 1В 1С 1
A A1 , B B1 , C C1
C
2a
2b
Число, якому дорівнює
відношення відповідних
сторін подібних трикутників,
називається коефіцієнтом
подібності (позначають k)
a
b
А
А1
2c
В1
c
В

5.

Відношення периметрів подібних
трикутників дорівнює відношенню
їх відповідних сторін.
С
АВ ВC
АС P
k
А1 В1 В1С1 А1С1 P1
Щоб скласти відношення відповідних сторін
подібних трикутників, потрібно:
визначити відповідно рівні кути трикутника;
з'ясувати, які сторони є відповідними;
записати рівність трьох дробів, у чисельниках
яких – сторони одного з трикутників, а у
знаменниках – відповідні сторони іншого
А
В
АВ
ВC
АС
P
k
А1 В1 В1С1 А1С1 P1
А1
В1

6.

ФАЛЕС МІЛЕТСЬКИЙ
(кін. 624 – кін. 546 до н. е.)
«Блаженство тіла – в здоров’ї,
блаженство розуму – в знаннях»

7.

Паралельні прямі, які перетинають сторони кута,
відтинають на його сторонах пропорційні відрізки.
AC AВ
AN AМ
N
Пряма, паралельна будь-якій
стороні трикутника,
відтинає від нього подібний
трикутник.
С
ACВ ~ ANM
А
В
М

8.

довести рівність кутів даних
трикутників;
довести пропорційність відповідних
сторін даних трикутників.
С
А
В
А1
В1

9.

Теорема
(ознака подібності трикутників за двома кутами).
Якщо два кути одного трикутника
відповідно дорівнюють двом
кутам другого трикутника, то
такі трикутники – подібні.
ABC ~ A1B1C1
А
В
А1
В1

10.

Рівносторонні трикутники подібні.
Рівнобедрені трикутники подібні, якщо
вони мають по рівному куту:
при основі;
при вершині.
Прямокутні трикутники з рівним
гострим кутом є подібними.
Рівнобедрені прямокутні трикутники –
подібні.

11.

Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність.
60
А
0
В
350
300
С
В
D
F
W
350
Р
А
650
E
С
800
М

12.

Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність.
В
В
B1
300
400
300
N
A1
А
1100
С
А
С
C1
М
Р

13.

Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність. Записати
рівність відношень відповідних сторін.
С
K
ABC ~ MNC
AC DC AB
MC BC MN
М
N
Z
А
PKT ~ ZKX
PT KT PK
ZX KX ZK
В
P
X
T

14.

Знайти подібні трикутники і довести їх подібність. Записати рівність відношень
відповідних сторін.
B
C
Розв'язання
E
Розглянемо ACD , AC CD , отже CAD CDA
CAD ACB - як внутрішні різносторонні,
ABC - рівнобедрений.
ACD і ABC мають рівні кути, отже вони
подібні
A
D
AC CD AD
AB BC AC

15.

Знайти подібні трикутники і довести їх подібність. Записати рівність відношень
відповідних сторін.
Розв'язання
ABC і OEC - подібні, за першою ознакою
В
подібності трикутників
B E 900 як кут, що спирається на діаметр кола,
C - спільний
Е
AC BC AB
OC EC EO
А
О
O – центр кола
С

16.

Знайти подібні трикутники і довести їх подібність. Записати рівність відношень
відповідних сторін.
Розв'язання
В
ACD ~ OAK за двома кутами.
C 900 - як кут, що спирається на діаметр
С
кола.
К
A 900, тому що AB AD (як дотична до
діаметра)
А
D
О
АВ - дотична
KOA CAD - за умовою
AO AK KO
AC CD AC

17.

18.

Теорема
С1
Якщо дві сторони одного
трикутника пропорційні
двом сторонам другого
трикутника і кути,
утворені цими
сторонами, рівні, то
такі трикутники –
подібні.
С
А
В
А1
ABC ~ A1B1C1
В1
AC
AB
A1C1
A1 B1
A A1

19.

Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність.
B
Е
Q
B
400
400
4см
400
3,5см
400
К
F
P
A
R
C

20.

Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність.
Е
B
400
4см
400
3,5см
B
8см
7cм
E
A
A
5 cм
3cм
C
F
К
3cм
C
D
3cм
F

21.

Доведіть подібність трикутників
С
В
R
S
300
Розв'язання
ABC ~ PRS - за другою ознакою
подібності трикутників (за
двома пропорційними сторонами
92 см
115 см
4 см
5 см
і кутом між ними)
92 115
23 і C 900 600 300
4
5
600
Р
А

22.

B
Дано: ABC , MN AC, AB 16 см, MN 3 м
Знайти: x
Розв'язання
x
N
ABC ~ MBN - за двома кутами. B - спільний
A M - як при перетині паралельних
М
прямих січною. Отже
AC AB
MN MB
12 16
3
x
3 16
x 4 см
x
12
С
А
Відповідь: x 4 см

23.

Дано: ABC , MN AC, AB 20 дм, AC 10 дм,
MN 2 дм
Знайти: x
B
Розв'язання
ABC ~ MBN - за двома кутами. B - спільний
N
М
A M - як при перетині паралельних
прямих січною. Отже
AC
AB
MN
MB
, MB 20 x
10
20
, 10 (20 x) 2 20, 20 x 4
2 20 x
x 16 дм
x
Відповідь: x 16 дм
С
А

24.

25.

Теорема
Якщо три сторони одного
трикутника пропорційні
трьом сторонам другого
трикутника, то такі
трикутники подібні.
С
А
AC
BC
AB
A1C1 B1C1 A1 B1
В
ABC ~ A1 B1C1
А1
В1

26.

А
Дано: ABC, MN AC
BN 4 см, CN 1 см, BM 3 см
Знайти: x, y
y
Розв'язання
М
ABC ~ MBN - за двома кутами. B - спільний
A M - як при перетині паралельних
прямих січною. Отже
x 5
25
, x
6,25 см
5 4
4
5 3 y
, 3 y 15 , y 0,75 см
4
3
4
x
6
,
25
Відповідь:
см, y 0,75 см.
x
5
AC
AB BC
MN MB BN
В
N
С
, AB 3 y

27.

F
Дано: ABCD - паралелограм,
BE : EC 5 : 7, AB 105 см
Знайти: BF
B
E
C
Розв'язання
EDA BEF - як кути утворені при перетині
паралельних прямих січною.
BEF DEC - як вертикальні кути.
FAD FBE - як кути утворені при перетині
паралельних прямих січною.
FAD DCB - як протилежні кути
паралелограма. Отже FBC DCB
FBE ~ EDC - за першою ознакою подібності
трикутників (за двома рівними кутами)
105 5 , x 75см
DC EC , 105 7
, x
BF
BE
x
5
Відповідь: x 75см
A
D
7

28.

C
В
Дано: ABCD- паралелограм,
PABCD 45см BN AD, BF CD,
BN : BF 2 : 3
F
Знайти: AB, AD
Розв'язання
A C - як кути паралелограма. Отже за
першою ознакою подібності трикутників
ABN ~ BFN (за двома кутами).
Оскільки PABCD 45 см, то AB BC 22 см.
Нехай BC x, тоді AB 22 x.
Запишемо відношення відповідних сторін
BN
AB
подібних трикутників BF BC
2
x
, 2 (22,5 x) 3x, 45 2x 3x ,x 9 см
3
22,5 x
Відповідь: x 9 см
A
N
D

29.

30.

31.

32.

33.

В
Довжина тіні фабричної труби дорівнює
35,8 м. У той самий час вертикально
поставлена жердина завдовжки 1,9 м дає
тінь довжиною 1,62 м. Знайдіть висоту
x
1,9 м
К
А
труби.
Розв'язання
Розглянемо ABC та AKM , A -спільний.
M C 900 . Отже AKM ~ ABC - за першою
ознакою рівності трикутників (два рівні
кути).
BC
AC , x
35,8 , x 41,99 м
KM
М
1,62 м
С
35,8 м
AM
1,9
1,62
Відповідь: x 41,99 м

34.

Визначити висоту і ширину будівлі за
даними малюнка.
Розв'язання
Оскільки масштаб взято 1 см до 200 см,
тому висота будівлі:4 200 800 см, або 8м.
Ширина будівлі становить3 200 600 см,
або 6 м.
Відповідь: 8 м, 6 м.
Масштаб 1:200

35.

Що можна сказати про прямі a, b, c, d
Розв'язання
a b c за теоремою, Фалеса тому що вони
відтинають пропорційні відрізки на
2 3
сторонах кута , і не паралельні прямій d
2 2 4 6
тому, що
4
3

36.

Довжина яхти 8 м; висота щогла – 12 м.
Хлопчик робить модель яхти довжиною
40 см. Якої висоти щоглу йому потрібно
зробити?
Розв'язання
8 м= 800 см, роблячи довжину яхти 40 см,
хлопчик зменшує її у 800:40=20 раз. Отже
висоту щогла потрібно зменшити також
у 20 раз. 12 м= 1200 см. 1200: 20=60 см
Відповідь: 60 см висота щогла

37.

Макет літака має довжину 25 см і розмах
крил 30 см. Яка довжина оригіналу, якщо
розмах його крил дорівнює 18 м?
Розв'язання
Розмах крил літака 18 м, або 1800 см. Якщо
розмах крил макета 30 см, отже його
зменшили у 1800:30=60 раз. Отже довжина
оригінала становить 25 60 1500 см, або 15 м.
Відповідь: 15 м довжина літака.

38.

Діаметр глобуса дорівнює 40 см; діаметр
Землі – 12 000 км. Визначте відстань від
Києва до Москви, якщо на глобусі ці міста
розділені відстанню 10 см.
Розв'язання
Визначимо у скільки раз модель глобуса
менша за Землю 12 000 км = 1 200 000 000 см
1 200 000 000: 40 = 30 000 000.
Отже відстань від Новосибірська до Москви
буде у стільки раз більша ніж на глобусі
І дорівнює 300 000 000 см = 30 000 км
Відповідь: відстань від Києва до Москви
30 000км.

39.

Радіолокаційний пост спостереження
знаходиться в 20 км від гори, висота якої
3 км. З-за гори на висоті 9 км летить
літак. На якій відстані по горизонталі він
буде помічений?
Розв'язання
Складемо математичну модель задачі:
В
АМ – відстань від гори до посту,
КМ – висота гори;
СВ – висота польоту літака;
К
Запишемо дано.
Дано: AM 20 км, KM 3 км,
CB 9 км
Знайти: AC
С
А
М
ABC ~ AKM (як
прямокутні трикутники, що мають
спільний гострий кут). Запишемо
відношення відповідних сторін трикутника
AC
BC
x
9
,
, x 60 км.
AM
KM 20
3
Відповідь: літак буде помічений на
відстані 60 км

40.

Складемо
Визначається
математичну
висота телевізійної
модель задачі:
вишки
BC
на–відстані
висота вишки;
360 м. в землю вкопується
SLжердина
– висота
висотою
жердини;
2 м. Потім спостерігач
S
LC
відходить
– відстань
відвід
жердини
вишки ідо
стає так, щоб
вершини
жердини;
вишки і жердини стали в одному
LАполі
– відстань
зору. Довелось
від жердини
відійти
дона 1 м. Яка
висота
спостерігача;
вишки?
А
L
Дано: LC 360 м, SL 2 м, AL 1 м,
SL BC
Знайти:BC
Розв'язання
За узагальненою теоремою Фалеса
AL SL , 1
2
, x 361 2, x 722 м.
AC
BC
361
x
Відповідь: 722 м
KS
SB
ML
LC
В
С

41.

В
Складемо математичну модель задачі
На якій відстані від спостерігача
ВС – висота заводської труби; К
знаходиться заводська труба висотою
КМ – діаметр монети;
150 м, якщо монета 15 мм знаходиться на
АМ – відстань від очей до
відстані витягнутої руки (60 см), заслоняє
монети
цю трубу повністю.
А
М
АС – відстань від спостерігача до труби
Дано: BC 150 м, KM 15 мм, AM 60 см. KM BC
Знайти: AC
Розв'язання
За узагальненою теоремою Фалеса
AKM ~ ABC,
AM KM 60
1,5
,
AC
BC x 15000
x 6000 м, x 6 км
Відповідь: заводська труба знаходиться на
відстані 6 км
С

42.

Складемо математичну модель задачі
180 см (на рівні очей)
В Чоловік зростом
ВС – висота людини;
визначає ширину
річки.
Він жердини;
втикає на її
КМ –
висота
К
СМ – відстань від людини
березі жердину висотою 170 см. І
до жердини;
відходить від МА
неї до
того часу
поки її
– ширина
річки.
вершина і протилежний берег річки, не
А
М
будуть в одному полі зору. Відійти йому
Дано:ВС=180 см, КМ=170 см, СМ=10 м
довелось на 10 м. Яка ширина річки?
Знайти: АМ
Розв'язання
За узагальненою теоремою Фалеса
С
AM
KM
AKM ~ ABC AC BC
Нехай AM x , тоді AC 100 x
x
17 ,x 1700 см,
x
170 ,
100 x 180 100 x 18
x 17 м.
Відповідь: ширина річки 17 м

43.

Складемо математичну
висотумодель
дерева.задачі
З цією
В; Хлопчик визначає
КМ – висота жердини;
ціллю він відходить
від деревадонажердини;
відстань
МА – відстань
СА –жердину
відстаньвисотою
від хлопчика
К і втикає
15 метрів
2 м.
до дерева;
Потім лягає наВС
землю
так, щоб
вершини
– висота
дерева.
жердини і дерева були в одному полі зору.
А
С
М
Відстань від його голови до жердини 3 м.
Дано:
КМ=2 м,
СА=15 м, МА= 3 м
Яка висота
дерева?
Знайти: ВС
Розв'язання
За узагальненою теоремою Фалеса
AKM ~ ABC
3 2 ,
15 x
AM
KM
AC
BC
x 10 м
Відповідь: висота дерева 10 м

44.

45.

В
y
Дано: ABC, MN AC
Знайти: x, y
x
Розв'язання
За узагальненою теоремою Фалеса
М
ABC ~ MBN. Запишемо відношення відповідних
AC AB 12 2 y
сторін:
,
, y 1 см.
MN MB
4
y
AC BC , 12 3 x , x 1,5 см.
MN BN
4
x
N
4 см
Відповідь: 1 см, 1,5 см
А
12 см
С

46.

B
Дано: ABC , ADEF – паралелограм,
AB 20 см AC 25 см AD : DE 6 : 5
Знайти: AD, DE
Розв'язання
. Розглянемо трикутники FEC, ABC
BAC EFC - як кути утворені при перетині
паралельних прямих січною.
C - спільний. Отже FEC ~ ABC - за двома
кутами. Запишемо відношення відповідних
сторін подібних трикутників.
D
FC FE
AC AB
E
За умовою задачі DE AF 5x, AD FE 6x.
FC AC AF 25 5x .
5(5 x) 6 x , 5 x 3x ,
x 2 .
25
20
5
10
DE AF 5 2 10 см, AD FE 6 2 12 см.
Відповідь: 10 см, 12 см
A
F
C

47.

C
Дано: AB i CD – хорди, AF = 8см,
B
FB 6 cм, CD 16 см
Знайти: CF i FD
F
A
O
D
Розв'язання
Розглянемо трикутники AFC і BFD.
CFA BFD - як вертикальні кути;
FAC FDB - як кути, що спираються на
одну дугу. Отже CFA ~ BFD - за двома
кутами. Запишемо відношення відповідних
сторін трикутників AF CF
FD
FB
Нехай CF x см, тоді FD 16 x см
8
x
16 x 6
x1 12 см, x2 4 см.
Відповідь: 12 см, 4 см.

48.

В
Дано: ABC, MN AC
BM 5 см, MN 4 см, AC 12 см
Знайти:
x
Розв'язання
М
N
4 см
ABC ~ MBN - за двома кутами, ( B - спільний,
A N - як кути утворені при перетині
паралельних прямих січною).
Запишемо відношення відповідних сторін
AC
AB
трикутника MN MB
12 x , x 15 см
4
5
Відповідь: x 15 см
А
12 см
AB x см
С

49.

Дано: ABC, MN AC
BN 5 см, MN 4 см, AC 10 см
Знайти: x
А
Розв'язання
ABC ~ MBN - за двома кутами, ( B - спільний,
A N - як кути утворені при перетині
паралельних прямих січною).
Запишемо відношення відповідних сторін
AC
AB
трикутника MN NB
10
x
, x 50 : 4 , x 12,5 см
N
4
5
Відповідь: x 12,5 см
С
М
AB x см
В