Метод конечных элементов при решении дифференциальных уравнений в частных производных

1.

Метод конечных элементов при
решении дифференциальных
уравнений в
частных производных
z
Выполнил: студент гр. БАЭ-21-02
Принял: ассистент каф. ЭЭП.
Камалетдинов И Ф
И.И. Хайдаров

2.

z
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Исторически возникновение МКЭ связано с идеей применения
хорошо
разработанных процедур для расчета статически неопределимых
стержневых систем к решению континуальных задач:
Первоначально эта идея была высказана еще в 1933 году И.М.
Рабиновичем;
- Возникновение метода конечных элементов связано с решением
задач космических исследований в 1950-х годах:
в 1963 году после того, как было доказано то, что его можно
рассматривать как один из вариантов распространённого в
строительной механике метода Рэлея — Ритца, который путём
минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе
линейных уравнений равновесия;

3.

z
в 1968 году было дано дополнительное теоретическом
обосновании МКЭ, что позволило применять его при решении
многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом,
метод конечных элементов превратился в общий метод
численного решения дифференциальных уравнений или систем
дифференциальных уравнений
Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения
задач прикладной физики. Метод широко используется для
решения задач механики деформируемого твёрдого тела,
теплообмена, гидродинамики и электродинамики. Метод конечных
элементов основан на мысленном представлении сплошного тела
в виде совокупности отдельных конечных элементов,
взаимодействующих между собой в конечном числе точек,
которые в МКЭ принято называть узлами.

4.

z
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Формирование расчетной схемы МКЭ
А) дискретизация системы
Система разбивается на
простые конечные элементы (КЭ) напряженно-деформированное состояние которых
исследуется заранее.
В качестве конечных элементов (КЭ) мы будем рассматривать прямолинейные стержни,
имеющие постоянную жесткость по длине. Т.е. основную систему (дискретную модель) МКЭ
получают, разбивая заданную систему на отдельные прямолинейные элементы, имеющие
постоянную жесткость по длине. При наличии в системе криволинейных стержней или
стержней с переменной жесткостью, их, с достаточной степенью точности, разбивают на
участки, в пределах которых стержни считают прямолинейными, с усредненной постоянной
жесткостью

5.

z
Основная идея МКЭ
Основная идея МКЭ состоит в том, что
область расчета делится на конечное число
элементов произвольной геометрической
формы, и для каждого элемента
рассматриваются так называемые базисные a
принимающие значения, равные 1 в i-м узле
элемента и нулевые во всех других узлах.
Тогда значение искомой функции внутри
элемента выражаются через узловые
неизвестные в виде:

6.

z
МКЭ при решении трехмерной задачи
Дирихле для уравнения Лапласа

7.

z
МКЭ область обычно делятся на элементы с линейными базисными
функциями (тетраэдры) (рис.7).
Рис.7 Тетраэдр
(i=1,2,3,4)
Неизвестные коэффициенты a1 ,b1 ,c1 и d1 определяется из условияесли
m=n и если .
Коэффициенты системы линейных уравнений МКЭ определяется по
формуле
Даже с умеренным числом элементов система МКЭ может иметь
несколько тысяч неизвестных. Иногда бывает трудно разделить область
только на элементы такого типа. Из-за этого тетраэдральные элементы
часто смешивают с шестигранными элементами (“кирпичиками”). Для этих
элементов базисные функции имеют вид:
(i=1, 2,…, 8)

8.

z
ПОСТРОЕНИЕ ИЗОТЕРМ
НАХОЖДЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР В ЛЮБОЙ
ТОЧКЕ
Наша область обустроена прямоугольниками и
треугольниками. Для того чтобы вычислить
температуру в любой его точки, нужно
проверить к какой фигуре принадлежит точка.
Рассмотрим алгоритм нахождения
температуры в треугольнике. Для того чтобы
решить задачу (принадлежит ли данная точка
треугольнику?), надо сосчитать общую
площадь треугольника, и затем площади
треугольников, получившихся после
соединения каждой вершины с заданной
точкой. Если площади треугольника и
треугольников, полученных после объединения,
совпадают с заданной точностью, то точка
принадлежит этому треугольнику, иначе – нет.
Зная координаты трех вершин (x1, y1), (x2, y2),
(x3, y3) и их температуры, мы можем вычислить
следующую систему:

9.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
После нумерации сетки области перейдем к следующему
этапу в методе сеток – формирование системы
линейных уравнений с неизвестными температурами.
Так как нам ставится задача найти температуру во
внутренней точки области, то её решение кроется в том,
чтобы составить эту систему. Каждая внутренняя точка
области имеет рядом стоящие точки, которые
сформирует её.
В методе сеток строится квадратная матрица
размерности, равная числу внутренних точек (узлы
сетки). И она строится так: узлы прямоугольной сетки
не являются равноотстоящими, применяют следующие
вычислительные шаблоны

10.

Метод Гаусса состоит в том, чтобы матрицы системы привести к
треугольному виду. Это достигается последовательностью
исключением неизвестных из уравнений системы. Сначала с
первого исключаем второе неизвестное, затес со второго – третье, и
т.д. Это процесс называется прямым ходом Гаусса, и он
продолжается пока исключится последний элемент системы , то есть
приведётся к треугольному виду
.
Другой процесс – обратный ход метода Гаусса состоит в
последовательном вычислении искомых неизвестных: решая
последнее уравнение, находим значении последнего элемента
системы. Далее находим значение предпоследнего элемента.
Последним найдем 1 неизвестный элемент.
Точность при этом очень высока, так как метод Гаусса – прямой
метод. Но возникает проблема в том, что матрица покрыта 0, и эта
система считается другими методами, но точность желает знать
наилучшего результата. Поэтому выбирается оптимальное
количество неизвестных (в нашем случае, температур), при котором
достигается более высокая точность нахождения температур в
любой точке.