Теоремы сложения и умножения вероятностей. Лекция 10

1.

Кафедра математики и моделирования
Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев
Курс «Высшая математика»
Лекция 10.
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Цель: Рассмотреть события и действия над ними на
языке теории множеств. Разобрать теоремы сложения
и умножения вероятностей.

2. Терминология

• Ω – множество всех возможных исходов
опыта.
• ω – элементарное событие
(неразложимый исход опыта).
• Любое событие А есть некоторое
подмножество Ω ( А ).
• Ω – достоверное событие,
• Ø – невозможное событие.

3. Пример

• Опыт – получение оценки на экзамене.
• 2,3,4,5 ,
• А= { ω:ω – положительная оценка}
• A 3;4;5

4. Основные определения

• Определение 1: Суммой двух событий А, B
называется событие С, состоящее в
выполнении события А или события B
С А B A B . Суммой нескольких
событий называется событие, состоящее в
выполнении хотя бы одного из этих событий.
• Определение 2:Произведением нескольких
событий называется событие C, состоящее в
совместном выполнении всех этих событий
С A B A B

5. Основные определения

• Определение 3: События А1, А2,….,Аn – образуют
полную группу, если
А1 А2 … Аn=Ω
• Определение 4: События А1, А2,….,Аn
несовместные, если Аj∩Ai =Ø (i≠j)
• Определение 5: Противоположным по отношению к
событию A называется событие А , состоящее в не
появлении А, а значит дополняющее его до Ω
A А

6. Пример

• Опыт – получение оценки на экзамене.
• 2,3,4,5 ,
• Событие А : получение пятерки
• Событие А: ?
А : получение 2, 3, 4.

7. Теорема сложения вероятностей

• Теорема 1: Вероятность суммы двух
несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий.
P(A B) = P(A) + P(B) (AB=Ø)
Пример: Студент берет билет
(1,2,3,…,10). Какова вероятность того,
что он выберет билет с четным
номером?
1 1 1 1 1
5
10 10 10 10 10 10

8. Теорема сложения вероятностей

• В случае, когда события А и B совместны,
вероятность их суммы выражается формулой:
P( A B) P( A) P( B) P( A B)
• Пример: Студент берет билет (1,2,3,…,10).
Какова вероятность того, что студент вытянет
билет, номер которого делится на 2 или на 3?
5 3 1
7
10 10 10 10

9. Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения
вероятностей
Теорема 2:
n
1)
n
P ( Ai ) P ( A j )
i 1
(Ai Aj = Ø, i ≠ j),
i 1
n
2)
P( Ai ) P( Ai ) P( Ai A j ) P( Ai A j An ) .... ( . 1) n 1 P( A1 A2 ... An )
i 1
Если A1, …,An – несовместны, образуют полную группу, то
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
n
P( A ) 1
i 1
i
P( A) P( A ) 1

10. Определения

• Определение 6: Условной вероятностью
события А при наличии B называется
вероятность события А, вычисляемая при
условии, что событие B произошло.
Обозначается P(A‫׀‬B).
• Определение 7: События А и B называются
независимыми, если появление одного не
меняет вероятности появления другого.
P(A ‫ ׀‬B) = P(A), P(B ‫ ׀‬A)=P(B), для
независимых событий.

11. Теорема умножения вероятностей

• Теорема 3:
• Для независимых событий:
P(AB) = P(A)∙ P(B),
P(∩Ai) = ∏P(Ai)
• Для произвольных событий
P(AB) = P(A)∙ P(B ‫ ׀‬A),
P(A1∩A2∩A3…∩An) =
= P(A1)∙P(A2‫׀‬A1)∙P(A3 ‫ ׀‬A1A2)…P(An ‫ ׀‬A1…An-1)

12. Примеры:

Из 25 билетов, студент знает 20 билетов. Какова
вероятность того, что студент ответит на 3
вопроса?
20 19 18 4 19 3 19 3 57
25 24 23 5 4 23 5 23 115
Студент знает половину билетов какая вероятность
того, что он ответит на три вопроса?
n
n
1 2
n 2
(n 2) (n 4)
n 4
2
2n n 1 n 2 8(n 1)( n 2) 8(n 1)
Студент знает половину материала. Вопросы
задаются случайным образом по всему курсу.
Какова вероятность ответить на три вопроса?
1 1 1 1
2 2 2 8

13. Примеры

Студент сдает три экзамена. Ai – сдан i экзамен.
Представить в виде суммы, произведения
следующие события:
A1 A2 A3
А – все три экзамена сданы
A1 A2 A3
В – все три экзамена не сданы
A1 A2 A1 A2 A3 A1 A2 A3
С – первый и второй не сдан
D – хотя бы один сдан
A1 A2 A3 A1 A2 A 3
E – хотя бы один не сдан
A1 A2 A3 A1 A2 A3
G – только 3-ий сдан
A1 A2 A3
F – не менее двух сдано
A1 A2 A1 A3 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
A1 A2 A3 A1 A2 A3
H – не более одного сдано A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A 1 A2 A3

14. Примеры

Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность
попадания первого 0,6, второго – 0,7. Записать указанные
события и найти вероятность того, что
a) попадут оба стрелка
b) промахнуться оба
c) попадет первый и не попадет второй стрелок
d) попадет только один стрелок
Решение:
P( A1 ) 1 0,6 0,4; P( A2 ) 1 0,7 0,3
a) P(А1А2 )=P(A1)*P(A2)=0,6*0,7=0,42
b) P( A1 A2 ) P( A1 ) * P( A2 ) 0,4 * 0,3 0,12
c) P( A1 A2 ) P( A1 ) * P( A2 ) 0,6 * 0,3 0,18
A1 A2 A1 A2 ) P(
A1 A2 ) P(
A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0,6 0,3 0,4 0,7 0,46
d) P(
несовм.
незав.
незав.

15.

Вопросы:
Чему равно произведение
противоположных событий?
Описать множество элементарных
событий Ω для последнего примера.