Векторные и спектральные модели сигналов в инфотелекоммуникации

1. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича  Кафедра «Теории электроцепей и связ

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Факультет Фундаментальной подготовки
Кафедра Теории электрических цепей и связи
(ТЭЦ и С)
располагается на 3,5 и 6-м этажах
В аудиториях №607, №609, №611, 510,512, 516.
Дисциплина
Общая теория связи
Лектор:
Заведующий кафедрой
Шумаков Павел Петрович
Общая теория связи
Лекция #2
1

2. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и свя

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Лекция № 2
Векторные и спектральные модели сигналов в
инфотелекоммуникации
1.
2.
3.
4.
Учебные вопросы:
Векторные модели сигналов. Обобщенный ряд Фурье.
Спектры периодических сигналов.
Спектры непериодических сигналов.
Теоремы о спектрах.
Общая теория связи
Лекция #2
2

3.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Литература:
Стр.
28..37; 37..40; 40..52
Используя MathCAD расчитать и
построить энергетические спектры
для импульсных сигналов из таблицы
2.1 на стр 45.
Четные номера : треугольный (2) и
косинусоидальный (3).
Нечетные номера : Прямоугольный
(1) и SINC-образный (5).
Используя MathCAD рассчитать и
построить энергетические спектры
для импульсных сигналов вида:
Четные номера : пилообразный
возрастающий.
Нечетные номера : пилообразный
ниспдающий.
Общая теория связи
Лекция #2
3

4. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и свя

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Задание на самостоятельную отработку
Теория электрической связи :учебное пособие для студентов высших учебных заведений
/Биккенин Р. Р., Чесноков М. Н. –М.:Издательский центр «Академия», 2010.
-28-37;37-40;40-52 с.
Общая теория связи
Лекция #2
4

5. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и свя

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Импульсные сигналы:
а) видеоимпульсы;
б) радиоимпульсы
Uр(t) = Uв(t)cos(ωt + φ)
Uв(t) — огибающая радиоимпульса
ω — опорная (несущая) частота
φ — фаза
Общая теория связи
Лекция #2
5

6. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и свя

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Вопрос №1. Векторное представление сигнала. Понятие базиса, нормы,
скалярного
произведения
сигналов,
ортогональности
сигналов, ортонормированного базиса сигналов.
Сигналы могут быть одномерными U1(t), и многомерными {UN(t)},
Многомерный (векторный) - сигнал образованный упорядоченным
множеством одномерных сигналов V(t) =
{U1(t),U2(t),…,UN(t)},
N — размерность сигнала.
Общая теория связи
Лекция #2
6

7. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и свя

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Пространство
Множество сигналов М={s1(t),
s2(t),…sn(t)}сигналов
обладающих определенными свойствами
называется пространством сигналов. Структура пространства сигналов определяется
алгебраическими и геометрическими свойствами.
Алгебраическая структура пространства сигналов
Множество сигналов образует ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО СИГНАЛОВ L
если справедливы следующие аксиомы:
1.Все сигналы при любом времени t принимают только вещественные значения.
2.Сумма любого числа сигналов данного множества также принадлежит этому
множеству, при чем эта сумма подчиняется свойствам: для
x =Si(t)
y = Sj(t)
x + y = y + x — коммутативность;
x + (y + z) = (x + y )+ z — ассоциативность;
x + = x , где — нулевой элемент;
x + (- x) = 0 , где -x — противоположный элемент.
3. Умножение сигнала на скаляр (число) определяет новый сигнал принадлежащий
исходному множеству si(t) М.
4. Операция умножения на скаляр подчиняется свойствам:
(bx)= ( b)x
1x= x
( +b)x)= x+bx
(x+y)= x+ y
Общая теория связи
Лекция #2
7

8.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
• Если
будет
произвольным
комплексным числом, то множество
сигналов образует
• Комплексное Линейное Пространство
Сигналов С.
• Элементы
структурированного
пространства в математике называются
точками, функциями, векторами.
Общая теория связи
Лекция #2
8

9. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и свя

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Геометрическая структура пространства сигналов
Норма сигнала .
Эквивалентом длины вектора для аналоговых и дискретных сигналов является норма
Для вещественного сигнала норма определяется :
s( t )
2
s
( t )dt
T
Для комплексного сигнала норма определяется :
s( t )
Норма подчиняется следующим аксиомам:
s( t ) 0
s( t ) s( t )
s(
t
)s
( t )dt
T
s1 ( t ) s2 ( t ) s1 ( t ) s2 ( t )
Если S — это вектор, то норма – это его длина или расстояние от конца вектора до начала
координат.
Энергия сигнала
Пусть s(t) ― напряжение на резисторе с сопротивлением в 1 Ом, тогда s2(t) ―
мгновенная мощность, а квадрат нормы ― есть энергия, выделяемая на резисторе за время
T.
s( t ) s 2 ( t )dt E s
2
Общая теория связи
T
Лекция #2
9

10. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

.
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Геометрическая структура пространства сигналов
Метрика пространства сигналов
Для усовершенствовании структуры пространства вводится расстояние между его
элементами, которое называют также метрикой.
Каждой паре элементов пространства ставится в соответствие положительное число,
которое трактуется как расстояние между элементами. В качестве расстояния используется
функционал
свойствами:
d(x,y) = R,
называемый
метрикой
и обладающий следующими
d(x,y) ≥ 0 и d(x,y) = 0, только если x = y;
d(x,y) = d(y,x) – cвойство симметрии;
d(x,y) < d(x,z) + d(z,y) – неравенство треугольника.
В качестве метрики можно выбрать величину
d ( x, y ) x y
Линейное метрическое пространство с квадратичной нормой обозначается:
Вещественное
Общая теория связи
L2
комплексное
Лекция #2
С2
10

11. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Геометрическая структура пространства сигналов
Скалярное произведение сигналов
Найдем энергию суммы двух сигналов u(t) и v(t).
u( t ) v( t ) u( t )2 dt v( t )2 dt 2 u( t )v ( t )dt
2
T
T
T
Если сигналы рассматривать как вектора U и V получим
U V U V 2 U V cos( )
2
Где
2
2
(U ,V ) U V cos( )
UV
скалярное произведение двух векторов
угол между векторами
Сопоставляя сигналы с векторами в пространстве L2 получим что скалярное
произведение двух сигналов
( u( t ),v( t )) u( t )v ( t )dt u( t ) v( t ) cos( )
T
Общая теория связи
Лекция #2
11

12. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Свойства скалярного произведения сигналов
Для комплексных сигналов скалярное произведение должно удовлетворять следующим
условиям:
(x, y) = (y, x)* , где знак * означает комплексно сопряженную величину;
(αx, y) = α(x, y);
(x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y);
(x, x) ≥ 0.
Ортогональность двух сигналов
Если
UV 90 ãðàäóñî â 2 ðàäè àí
cos( ) 0
2
то скалярное произведение двух сигналов равно нулю , значит взаимная энергия этих
сигналов равна нулю , а такие сигналы - ортогональные.
Общая теория связи
Лекция #2
12

13.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Если
S2(t) = 0
то имеем систему передачи с пассивной паузой
S1(t) = Uc sin ( 0t + ),
t 0,T ,
S1(t) = 0
T
1
( S0 , S1 ) S0 (t ) S1 (t )dt 0
T0
T
d 2 ( S0 (t ), S1 (t )) S0 2 (t )dt E1
0
Общая теория связи
Лекция #2
13

14.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
S1(t) = Uc cos ( 1t + 1),
t 0,T ,
S2(t) =Uc cos ( 2t + 2).
Пусть 1= 2 k1/T,
2= 2 k2/T,
где k1 и k2 — целые числа,
1 и 2 принимают любые значения. Тогда:
1
1
2
2
( S1 , S2 ) S1 ( t )S 2 ( t )dt U 1 U 2 cos(
k1t 1 ) cos(
k 2t 2 )dt 0
T 0
T
T
T
0
T
T
T
T
T
T
0
0
0
d 2 ( S1 (t ), S2 (t )) S1 (t ) S2 (t ) dt S12 (t )dt S 22 (t )dt 2 S1 (t )S 2 (t )dt E0 E1 2 E ,
2
0
Общая теория связи
Лекция #2
14

15. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Базисные сигналы
В линейном пространстве сигналов можно определить совокупность линейно
независимых сигналов {ei(t)} таких, что весовая сумма iei=0 возможна только при
одновременном равенстве нулю всех коэффициентов . Эти сигналы называются
координатным базисом. Базисные сигналы попарно ортогональные.
Обобщенный ряд Фурье
Если выбраны сигналы координатного базиса, то любой сигнал s(t) в линейном
пространстве может быть представлен взвешенной суммой ортогональных сигналов
координатного базиса
Сiei(t)=s(t)
Такое представление сигнала называется обобщенный ряд Фурье.
Французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830)
Весовые коэффициенты этого ряда рассчитываются как скалярное
произведение сигнала s(t) и соответствующего i- того базисного сигнала ei(t):
Ci ( s( t ),ei ( t ))
1
ei
2
s(
t
)e
i ( t )dt s( t ) ei ( t ) cos( ) s( t ) cos( )
T
Совокупность коэффициентов обобщенного ряда Фурье {Сi}
сигнала s(t) в базисе ортогональных сигналов {ei(t)}
Общая теория связи
Лекция #2
называется спектром
15

16. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Выводы по первому вопросу
1.Сигналы в радиотехнике рассматриваются как проявления электромагнитного
поля в элементах радиотехнических цепей в виде колебаний напряжения или тока.
2.Обобщенной математической моделью сигналов является их описание как
элементов функционального пространства (векторов ).
3.Вещественные и комплексные сигналы можно рассматривать как элементы
множества векторного линейного нормированного метрического пространства.
4.Скалярное произведение двух сигналов по физическому смыслу представляет
собой взаимную энергию между двумя сигналами , действующими суммарно на
сопротивление в один Ом.
5.Скалярное произведение двух сигналов определяется углом между ними. Если
угол между двумя сигналами равен 90 градусов то скалярное произведение равно
нулю, и такие сигналы являются ортогональными.
6. Набор ортогональных сигналов называется координатным базисом
пространства сигналов.
7. При известном базисе , любой сигнал можно представить взвешенной суммой
сигналов ортогонального базиса в виде обобщенного ряда Фурье. Весовые
коэффициенты этого ряда называются спектром сигнала.
Общая теория связи
Лекция #2
16

17. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Вопрос 2. Спектры периодических сигналов.
Периодическим называют сигнал, мгновенные значения которого повторяются через
равные промежутки времени – Т
Модель такого сигнала имеет вид
где Т- период повторения, а F=1/T-частота повторения периодического сигнала (ПС)
Основной математический аппарат спектрального анализа таких сигналов –ряд Фурье в
базисе гармонических сигналов с кратными частотами.
s t s t k T ,
Формы спектрального представления периодического сигнала
Квадратурная
a0
2
2
s( t k T ) sT ( t ) ak cos(
kt ) bk sin(
kt )
2 k 1
T
T
T / 2
1
2
S( t )cos( kt )dt àì ï ëè ò óäà ñè í ô àçí û õ ãàðì î í è ê
T T / 2
T
T / 2
1
2
bk
S(
t
)
sin(
kt )dt àì ï ëè ò óäà êâàäðàò óðí û õ ãàðì î í è ê
T T / 2
T
a0 1 T / 2
S( t )dt ï î ñò î ÿí í àÿ ñî ñò àâëÿþ ù àÿ
2 T T / 2
ak
Общая теория связи
Лекция #2
17

18. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Амплитудно – фазовая форма ряда Фурье
a0
sT ( t ) s( t k T ) Ak cos( xk k )
2 k 1
ak cos xk bk sin xk ak 2 bk 2 cos( xk k )
2
xk k
t k 2 f1 t k 1 t k t ;
T
bk
2
2
ak bk Ak À× Ñ k arctg
ak
ak Ak cos( k )
Ô× Ñ
bk Ak sin( k )
Общая теория связи
Лекция #2
18

19.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Общая теория связи
Общая теория связи
Лекция #1
Лекция #2
19

20.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Общая теория связи
Лекция #2
20

21. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Комплексная форма ряда Фурье
e jx e jx
cos x
2
a0 a k
s( t k T )
2 k 1 2
e jx e jx
sin x
j2
2
2
2
j
t
j
t
j
t
j 2T t
b
k
T
T
T
e
e
e
e
j2
2
2
j
t
j
t
a0 1
1
T
T
ak jbk e
ak jbk e
2 k 1 2
k 1 2
2
2
2
j
kt
j
kt
j
kt
a0 1
1
j k
j k
T
T
T
s( t k T ) Ak e e
Ak e e
Ck e
2 k 1 2
k 1 2
k
Общая теория связи
Лекция #2
21

22. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Комплексная форма ряда Фурье
Ak j k 1
Ck
e
2
T
T / 2
S( t )e
j
2
kt
T
dt
T / 2
Ak ak jbk , A k ak jbk
1
ak
Ak A k
2
1
bk j Ak A k
2
Ak
ì î äóëü C k
2
àðãóì åí ò
À× Ñ
k arg C k Ô × Ñ
АЧС –четная функция частоты (обладает симметрией в области
положительных и отрицательных частот)
ФЧС – нечетная функция (обладает центральной симметрией)
Общая теория связи
Лекция #2
22

23.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Мощность и энергия периодического сигнала.
Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала s(t) являются его
мощность и энергия.
Мгновенная мощность определяется как квадрат мгновенного значения s(t):
p t u( t ) i( t ) i( t )R i( t ) i 2 t
i(t)
s(t)
R=1
u(t)
u( t )
u( t )
u2 ( t ) s 2 ( t )
R
Энергия сигнала на интервале t2, t1 определяется как интеграл от мгновенной мощности:
t2
t2
E s p t dt s
t1
2
t dt
Åñëè t2 t1 T
t1
T
T
0
0
E s p t dt s 2 t dt
Средняя мощность сигнала s(t) на интервале t2, t1.
t
Es
1 2 2
s t dt s 2 t
t 2 t1 t 2 t1 t1
Общая теория связи
Åñëè t2 t1 T
Лекция #3
Es 1 T 2
s t dt s 2 t
T T 0
23

24.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Равенство Парсеваля.
Периодические сигналы имеют дискретные спектры. Спектр периодического сигнала представляет собой
совокупность гармонических сигналов с частотами, кратными частоте повторения сигнала. Амплитуды гармоник
спектра зависят от временной формы, а начальные фазы от временной задержки.
Средняя мощность гармонического колебания за период его повторения пропорциональна квадрату
действующего значения и не зависит от начальной фазы. Квадрат действующего значения гармонического сигнала
равен половине квадрата амплитуды сигнала.
2
2
mn
n
A
A
2
Средняя за период повторения Энергия периодического сигнала определяется как интеграл от мгновенной мощности
усредненный за период повторения.
2
2
1 2
2
a0
a0
2
2
2
Ecp s ( t )dt an bn An Cn
T 0
2 n 1
2 n 1
n
T
Энергия сигнала, представленного во временной области должна равняться сумме энергий всех его спектральных
составляющих, т.е. сумме энергий постоянной составляющей и энергии всех гармоник спектра.
Данное соотношение называется равенством Парсеваля для вещественных сигналов.
An
ОТС
Am n
2
Лекция #3
24

25. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Равенство Парсеваля
1
T
T
0
2
a
2
0
s( t ) dt Ak2
2 k 1
Общая теория связи
Лекция #3
25

26.

Общая теория связи
Лекция #3
26

27.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Общая теория связи
Лекция #3
27

28.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Общая теория связи
Лекция #2
28

29. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Вопрос 3. Спектры непериодических сигналов. Теоремы о спектрах.
В подавляющем большинстве случаев в теории и технике связи приходится иметь дело с
сигналами, которые по существу являются непериодическими. К таким сигналам аппарат
рядов Фурье не применим.
Модель непериодического сигнала как предельного случая периодического сигнала ,
когда период стремится к бесконечности
Устремим в периодическом сигнале T
1
s (t )
2
k
или
f1 = 1/T = 1/2 0
Ak Te jk 1t
где = 1 = k 1 – (k – 1) 1 — разность между частотами соседних гармоник
S( j ) lim AkT lim
T
0
Ak
2 ñï åêò ðàëüí àÿ ï ëî ò í î ñò üñè ãí àëà
Общая теория связи
Лекция #2
29

30. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Вопрос 3. Спектры непериодических сигналов.
В подавляющем большинстве случаев в теории и технике связи приходится иметь дело с
сигналами, которые по существу являются непериодическими. К таким сигналам аппарат
рядов Фурье не применим.
Модель непериодического сигнала как предельного случая периодического сигнала ,
когда период стремится к бесконечности
Устремим в периодическом сигнале T
1
s (t )
2
k
или
f1 = 1/T = 1/2 0
Ak Te jk 1t
где = 1 = k 1 – (k – 1) 1 — разность между частотами соседних гармоник
S( j ) lim AkT lim
T
0
Ak
2 ñï åêò ðàëüí àÿ ï ëî ò í î ñò üñè ãí àëà
Общая теория связи
Лекция #2
30

31. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Прямое и обратное преобразование Фурье
1
s(t )
2
S ( j )e j t d - Î Ï Ô
S ( j )
ÏÏÔ
ÎÏÔ
s(t ) S ( j )
s(t )e
j t
dt - Ï Ï Ô
Обратное преобразование Фурье для сигнала s(t) - операция синтеза, поскольку с ее
помощью сигнал восстанавливается (синтезируется) из спектральных
составляющих.
Прямое преобразование Фурье – операция анализа сигнала на основе определения его
спектральных составляющих.
Общая теория связи
Лекция #2
31

32. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Физический смысл спектральной плотности сигнала
Учитывая чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование
Фурье можно записать следующим образом
s (t )
1
S ( j ) cos[ t ( )]d
0
1
j t
S ( j )d e
2
1 Am
S ( j )
c d
1
S ( )d cos[ t ( )]
1
c
Спектральная плотность сигнала является комплексной амплитудой эквивалентной
гармоники на соответствующей опорной частоте .
Эквивалентная гармоника есть результат когерентного сложения бесконечно большого
числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами расположенными в бесконечно малом
по частоте диапазоне в районе выбранной (опорной) частоты.
Общая теория связи
Лекция #2
32

33. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ и ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ГАРМОНИКА
Общая теория связи
Лекция #2

34.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Математический и Физический спектр непериодического сигнала
Сопоставим комплексную и амплитудно-фазовую формы ОПФ.
Учитывая чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование
Фурье можно записать следующим образом
1
S ( j )d e j t
2
1
s (t )
2
2S ( ) cos[ t ( )]d
0
1
s (t )
2
S ( ) e j [ t ( )]d
2S ( ); 0
S ( ) 2S ( )1( ) S (0);
0
0;
0
Общая теория связи
Лекция #2
34

35. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Вопрос 4. Свойства преобразования Фурье
Теорема сложения спектров гласит: спектр суммы колебаний равен
сумме спектров слагаемых колебаний.
Теорема временного сдвига (запаздывания) формулируется
следующим образом: при сдвиге колебания во времени (изменении
начального момента отсчёта времени) спектральная плотность амплитуд
сохраняется постоянной, а спектр фаз изменяется на величину,
пропорциональную частоте и времени сдвига с учётом его знака.
j 0t
Теорема смещения (модуляции): умножение колебания S(t) на
приводит к смещению его спектра на величину ω0.
Теорема об изменении масштаба: растяжение колебания во времени
(a>1) влечёт за собой сжатие его частотного спектра и увеличение
спектральной плотности амплитуд. Сжатие колебания во времени (a<1)
приводит к расширению его частотного спектра и уменьшению
спектральной плотности амплитуд.
Теорема о свёртке: свёртка двух колебаний S1(t) и S2(t) соответствует
перемножению их спектров.
e
Общая теория связи
Лекция #2

36. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича Кафедра «Теории электроцепей и связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Вопрос 4. Свойства преобразования Фурье
№
Название теоремы
Временное представление
Спектральное представление
п/п
1
Теорема сложения
2
Теорема временного сдвига
S1 (t ) S (t t0 )
S1 ( j ) S ( j )e
3
Теорема смещения (модуляции)
S1 (t ) S (t )e j 0t
S1 ( j ) S ( j( 0 ))
4
Теорема об изменении масштаба
t
S1 (t ) S
a
S1 ( j ) aS ( ja )
5
Теорема о дифференцировании
dS (t )
dt
S1 ( j ) j S ( j )
6
Теорема об интегрировании
t
1
S1 ( j )
S ( j )
j
S ( j ) S1 ( j ) S2 ( j )
S (t ) S1 (t ) S2 (t )
S1 (t )
S1 (t )
S (t )dt
7
Теорема о свёртке
S (t )
S ( j ) S1 ( j )S2 ( j )
S ( )S (t )d S (t )* S (t )
1
2
1
j t0
2
8
Преобразование Фурье
S1 (t )
1
2
S ( j )e
j t
d
S ( j )
S (t )e
j t
dt
Общая теория связи
Лекция #2
36

37. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электроцепей и свя

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Лекция № 3
Энергетические и корреляционные модели непериодических
сигналов.
1.
2.
3.
4.
5.
Учебные вопросы:
Энергетические модели Т-финитных сигналов.
Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
Эффективная ширина спектра сигнала.
Корреляционные модели детерминированных сигналов
Свертка двух сигналов во временной и частотной области
Общая теория связи
Лекция #3
37

38.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Литература:
Стр.
53..54;
Используя MathCAD расчитать и построить
АКФ
Четные номера : Прямоугольный (1) и SINCобразный (5)
Нечетные номера : треугольный (2) и
косинусоидальный (3).
Используя MathCAD рассчитать и построить
энергетические спектры для импульсных
сигналов с использованием обратного
преобразования Фурье от АКФ сигнала
Четные номера : пилообразный
возрастающий.
Нечетные номера : пилообразный
ниспадающий.
Общая теория связи
Лекция #3
38

39.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Вопрос 1. Энергетические модели Т-финитных сигналов.
Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала s(t) являются его
мощность и энергия.
Мгновенная мощность определяется как квадрат мгновенного значения s(t):
p t u( t ) i( t ) i( t )R i( t ) i 2 t
i(t)
s(t)
u(t)
u( t )
u( t )
u2 ( t ) s 2 ( t )
R
R=1
Энергия сигнала на интервале t2, t1 определяется как интеграл от мгновенной мощности:
t2
t2
t1
t1
E s p t dt s 2 t dt
Средняя мощность сигнала s(t) на интервале t2, t1.
t
Es
1 2 2
2
s
t
dt
s
t
t 2 t1 t 2 t1 t1
Общая теория связи
Лекция #3
39

40.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Вопрос2. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
Рассмотрим выражение скалярного произведения
f ( t )g( t )dt ,
в котором f(t)=g(t)=s(t).
Равенства Парсеваля и обобщенная формула Рэлея.
1
2
s ( t )dt 2
1
*
S( )S ( )d 2
1
S( ) d
2
2
G( )d E
s
Энергетический спектр сигнала
2
S( )S ( ) S( ) G( )
*
Распределение энергии в спектре вещественного непериодического сигнала
1
2
s
(
t
)dt
2
1
S(
)S(
)d
2
Общая теория связи
S( ) d
2
Лекция #3
1
S( ) d E s
2
0
40

41.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Вопрос 3. Эффективная ширина спектра сигнала
Полоса частот Δωэфф физического спектра сигнала в пределах которой находится
основная часть энергии спектральных гармоник (например >90%)
E
Es
1
2
G( )d 0.9 E
s
1
2
1
2
1
S( ) d
2
90%E s
2
S( ) d
2
2 1
1
Общая теория связи
Лекция #3
41

42.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Вопрос№4. Корреляционные модели детерминированных сигналов
Корреляция – количественная характеристика степени подобия (похожести) двух сигналов.
Корреляционная функция.
Корреляционная функция – зависимость корреляции двух в общем случае комплексных
сигналов от временного сдвига τ между ними.
Для сигналов с ограниченной энергией.
Bu ,v ( )
u( t )v* ( t )dt .
Для сигналов с конечной средней мощностью.
T
1
Bu ,v ( ) lim
T T
2
T
u( t )v* ( t )dt .
2
Для периодических сигналов .
T
1
Bu ,v ( )
T
Общая теория связи
2
T
u( t )v* ( t )dt .
2
Лекция #3
42

43.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Автокорреляционная функция вещественного сигнала (АКФ).
Это корреляционная функция двух одинаковых сигналов - самого сигнала s(t) и его копии,
задержанной во времени s(t-τ), рассматриваемая как функция времени задержки τ.
Rs ( )
s( t )s( t )dt s( t )s( t )dt .
Свойства АКФ вещественного сигнала R(τ).
АКФ определяет взаимную энергию сигнала и его копии, задержанной во времени и
измеряется в Джоулях.
АКФ действительная и четная функция сдвига во времени τ :
График АКФ симметричен .
R(τ )=R(- τ ) .
АКФ достигает максимума при τ=0 и максимальное значение АКФ равно ЭНЕРГИИ
сигнала Еs. Поэтому R(0)=Es>R(τ
Общая теория связи
)
Лекция #3
43

44.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Связь АКФ сигнала R(τ) с его энергетическим спектром W(ω).
S( )S
АКФ R(τ ) и энергетический спектр сигнала
ОДНОЗНАЧНО связаны парой преобразований Фурье.
1
R( )
2
G( )
*
2
( ) S( ) W ( )
j
G
(
)
e
d
R( )e
j
d
Однозначно восстановить сигнал s(t
) по его АКФ R(τ ) невозможно, так как
энергетический спектр G(ω), а значит и АКФ не содержат информацию о фазовом
спектре сигнала.
Общая теория связи
Лекция #3
44

45.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
АКФ периодического вещественного сигнала s(t+kT).
Это действительная периодическая корреляционная функция , измеряемая единицами
средней мощности за период повторения (ВАТТЫ), четная по аргументу τ , максимумы
T
повторяются через период повторения
T.
1
Rs ( )
T
T
2
2
s( t )s( t )dt s( t )s( t )dt .
T
2
T
2
АКФ периодического сигнала связана с его линейчатым спектром через ряд Фурье:
Rs ( )
2
k
Ck e
2
j
k
T
2
a0
2
Ak cos( 2T k ).
2 k 0
Примеры:
Пример1.
Общая теория связи
Лекция #3
45

46.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Свертка двух сигналов во временной и частотной области
Под сверткой понимается математическая операция , которая выполняется в
соответствии со следующим алгоритмом:
1. Второй сигнал отображается зеркально симметрично.
2. Второй сигнал задерживается по времени от – ∞ до +∞ .
3. Для каждого времени задержки находится произведение с первым сигналом.
4. Результаты произведений , полученные при каждом времени задержки
суммируются.
ys ,g ( t )
s( )g( t )d s( t ) g( t ).
Согласно свойства преобразования Фурье свертке во временной области
соответствует перемножение спектров двух сигналов в частотной области.
ys ,g ( t ) s( t ) g( t ) Ys ,g ( j ) S( j ) G( j ).
Если второй сигнал является зеркальной комплексно-сопряженной копией первого
сигнала , то результатом свертки таких сигналов является АКФ сигнала.
Общая теория связи
Лекция #3
46

47.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Свертка сигналов
Сигнал на выходе линейной системы
ННУ
ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
δ(t)
ЛС
(фильтр)
s(t)
g(t)
y(t)=s(t)
g(t)
СВЕРТКА
Частотная характеристика линейной системы
S y ( j ) S s ( j ) K ( j )
K ( j )
g( t )e j t dt K ( j ) e j arg[ K ( j )]
K ( j ) Re 2 [ K ( j )] Im 2 [ K ( j )]
Im[ K ( j )]
arg[ K ( j )] ( ) arctg
Re[ K ( j )]
Общая теория связи
Лекция #3
47

48.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Свертка двух сигналов во временной и частотной области
Под сверткой понимается математическая операция , которая выполняется в
соответствии со следующим алгоритмом:
1. Второй сигнал отображается зеркально симметрично.
2. Второй сигнал задерживается по времени от – ∞ до +∞ .
3. Для каждого времени задержки находится произведение с первым сигналом.
4. Результаты произведений , полученные при каждом времени задержки
суммируются.
ys ,g ( t )
s( )g( t )d s( t ) g( t ).
Общая теория связи
Лекция #3
48

49. Свойства свертки

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Свойства свертки
коммутативность
s( t ) g( t ) g( t ) s( t ).
ys ,g ( t )
s( )g( t )d y
g ,s
(t )
g( )s( t )d .
дистрибутивность
s( t ) g( t ) u( t ) s( t ) g( t ) s( t ) u( t ).
ассоциативность
s( t ) g( t ) u( t ) s( t ) g( t ) u( t ).
Общая теория связи
Лекция #3
49

50.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электроцепей и связи»
Выполнение свертки в частотной области
Согласно свойства преобразования Фурье свертке во временной области
соответствует перемножение спектров двух сигналов в частотной области.
ys ,g ( t ) s( t ) g( t )
Ys ,g ( j ) S( j ) G( j ).
S(jω)
s(t)
ППФ
y(t)
X
ОПФ
ППФ
g(t)
G(jω)
Если второй сигнал является зеркальной комплексно-сопряженной копией первого
сигнала , то результатом свертки таких сигналов является АКФ сигнала.
Общая теория связи
Лекция #3
50

51. Комплексное представление вещественного сигнала

Вопрос 4. Аналитический сигнала
Комплексное представление вещественного сигнала
s( t ) Re s( t )
u( t ) U cos( t ) Re U e j t e j
ОТС
Лекция #3
51

52. Аналитический сигнал, отображающий вещественный сигнал

Сигнал, сопряженный с вещественным сигналом.
1
s( t )
2
0
S( j )e
1
d
2
j t
S( j )e
j t
d sc ( t ) s s ( t )
0
Аналитический сигнал, отображающий вещественный сигнал
zS ( t )
1
S( j )e
j t
d Re z S ( t ) j Im z S ( t )
0
z S ( t ) s( t ) j s ( t )
s(t)
z*s ( t ) s( t ) j s ( t )
квадратурное дополнение аналитического сигнала.
S(jw)
ОПФ
sc(t)
ОПФ
ss(t)
-w
ОТС
Лекция #3
О
+w
52

53. Представление вещественного сигнала с использованием аналитического сигнала

zS ( t ) z S ( t )
s( t )
Re zs ( t )
2
ОТС
Лекция #3
53

54. Преобразование Гильберта

Реальная и мнимая части спектра произвольных каузальных сигналов связаны
преобразованием Гильберта.
Вещественный сигнал и его квадратурное дополнение связаны преобразованием
Гильберта
Преобразование Гильберта есть свертка сигнала и ядра
1/πt
1 s( )
1 1
s( t ) s ( )
d
d
t
t
1 s( )
1 1
s( t ) s( )
d
d
t
t
ОТС
Лекция #3
54

55. Спектральная плотность аналитического сигнала

Реальная и мнимая части спектра произвольных каузальных сигналов связаны
преобразованием Гильберта.
Z s ( j )
z s ( t ) e j t dt S( j ) jS( j )
0 , 0
Z s ( j )
2 S( j ) , 0
S( jw ) j signum( w ) S( jw )
ОТС
Лекция #3
55

56.

ОТС
Лекция #3
56