Похожие презентации:
Применение метода асимптотического осреднения для нелинейной задачи пьезоупругости для слоистых композитов
1.
Министерство науки и высшего образования Российской ФедерацииФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
(национальный исследовательский университет)»
(МГТУ им. Н.Э. Баумана)
ФАКУЛЬТЕТ «Фундаментальные науки»
КАФЕДРА «Вычислительная математика и математическая физика»
Направление подготовки «Математика и компьютерные науки» 02.03.01
Выпускная квалификационная работа бакалавра на тему:
Применение метода асимптотического осреднения для
нелинейной задачи пьезоупругости для слоистых композитов.
Выполнил: студент группы ФН11-81Б Крылов А.В.
Научный руководитель: ассистент кафедры ФН-11, Зубарев Е.А.
2.
Математическая постановка задачиПостановка квазистатической
поляризующихся композитов :
j ij 0,
i di 0,
C ( I , x s ) v ( I , x s )e ,
ijkl
kl
kij
k
ij
1
ij ( j ui i u j ),
2
d k vkij ( I , x s ) ij эkj ( I , x s )e j ,
ei i ,
[ui ] 0, [ ij ]n j 0
0 di ni 0,
| n S
i
ij j
, d n d
e
i i Σ
e
Σ1
2
связанной
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
задачи
нелинейной
электро-механики
для
• В системе уравнений (1) - уравнение равновесия, (2) уравнение Гаусса, (3) - соотношения упругости с учетом
эффекта пьезоупругости, (4) - соотношения Коши, (5) электрические соотношения с учетом обратного
пьезоэффекта, (6) - выражение для электрического
потенциала, (7) - условия идеального механического
эффекта на границе разделов компонентов, (8) соотношения идеального электрического контакта на
границе раздела компонентов материала, (9) –
кинематические и статические условия на внешней
поверхности, (10) – электрические условия на границах.
Cijkl – компоненты тензора модуля упругости,
ij
vikl
ij
эik
di
ek
– компоненты тензоров малых деформаций,
– компоненты тензора пьезоэлектрических коэффициентов,
– компоненты тензоров напряжений,
– компоненты тензоров диэлектрических постоянных,
– компоненты векторов электрической индукции,
– электрический потенциал,
– компоненты векторов напряженностей электрического поля,
I ( , е) – инвариант относительно тензора и вектора.
3.
Метод асимптотического осредненияТак как структура композита периодична,
у нее можно выделить ячейку периодичности V
и ввести малый параметр l 1
L
Безразмерные координаты:
x x /L
s
s
i
xi
Решение линеаризованной задачи ищем в виде
асимптотических разложений по малому параметру:
u
{ m}
k
{ m}
u
{m}(0)
k
x u
{ m} 0
s
n 1
n {m}( n )
k
x ,
s
s
x x ,
s
n
{ m} n
s
s
n 1
Дифференцирование осуществляем по следующему правилу:
i h h,i 1h|i
h 1 h
xi i
4.
Асимптотические разложения{ m}
i
e
e
n {m}( n )
i
n 0
где
{ m}
ij
n 0
n {m}( n )
ij
d
{ m}
i
d
n
{ m}( n )
i
n 0
ei{m}( n ) ,{im} n |{i m} n 1
2 kl m ( n ) uk ,l m ( n ) ul ,k m ( n ) uk |l m ( n 1) ul|k m ( n 1)
ij
m ( n )
s
{m 1}( n n ')
{ m}( n n ') { m}( n ')
(Cijkl
kl m ( n ') vkij
ek
)
n ' 0
s
d
{m}( n )
k
{m}( n n ') {m}( n n ')
(vkij
ij
э{kjm}( n n ') e{jm} )
n ' 0
{ m}
ij
n ij{m}( n )
n 0
5.
Рекуррентная последовательность локальных задачij{m, j}( n ) ij{m| j}( n 1) 0
{m}( n )
di{|im}( n 1) 0,
k V
d i ,i
n
{m 1}( n n ')
{m 1}( n n ') {m}( n ')
m ( n )
(Cijkl
kl m ( n ') vkij
ek
)
ij
n ' 0
n
d {m}( n )
(vki{mj 1}( n n ') ij{m}( n n ') э{kjm 1}( n n ') e{jm} )
k
n ' 0
m ( n )
m ( n )
m ( n )
m ( n 1)
m ( n 1)
2
u
u
u
u
kl
k
,
l
l
.
k
k
|
l
l
|
k
e{m}( n ) {m} n {m} n 1
,i
|i
i
m ( n ) n 0, u m ( n 1) 0
s
Σ
ij
j
i
{m}( n 1)
0 di{m}( n ) ni 0,
s Σ
m ( n 1)
]] 0, [[ ij m ( n ) ]] 0, uk m ( n 1) 0
[[uk
{m} n 1
0, {m} n 1 0, n 0,1, 2,..., m 1, 2,...,
Локальная задача в нулевом приближении (n = 0):
ij{|mj }(0) 0
{m}(0)
0,
k V
di|i
m (0)
{m 1}(0)
{ m 1}(0) { m}(0)
Cijkl
kl m (0) vkij
ek
ij
{m}(0 ) {m 1}( 0 ) {m}(0) {m 1}(0) {m}(0)
vkij
ij
эkj
ej
d k
m (0)
uk ,l m (0) ul ,k m (0) uk |l m (1) ul|k m (1)
2 kl
e{m}(0 ) {m} 0 {m} 1
,i
|i
i
m (0) n 0, u m (1) 0
s Σ
ij
j
i
{m}(1) 0 d {m}(0) n 0,
s Σ
i
i
[[u m (1) ]] 0, [[ m (0) ]] 0, u m (1) 0,
ij
k
k
{m} 1
0, {m} 1 0 n 0,1, 2, ... , m 1,2, ...
6.
Рекуррентная последовательность локальных задачФормальное решение задачи нулевого приближения:
uk
m (1)
N
{m 1} m (0)
kij
ij
M
{m 1} {m}(0)
ki
i
e
uk
где
N
M
{m 1}
ki
K
{m 1}
i
N kij ( kl
m 1
M ki ( lj
Ki ( kj
m 1
m 1
, )
{m 1}
j
, )
,e
,e
(N
{m 1}
j
s
, )
s
m (0)
( nn' )
kij1 ... jn ij1 ... jn
M
( nn' ) {m}(0)
ki1 ...in i1 ...in
e
)
) {m}(0)
{m} n (M ij( nn... j) ij ... j {m}(0) Ki( nn
)
...i ei ...i
n' 0
s
2 kl m (0) uk ,l m (0) ul ,k m (0)
ei{m}(0) ,{im} 0
n 1
n 0
n 1
{m 1}
i
,e
m ( n )
'
{m} 1 M ij{m 1} ij m (0) K i{m 1}ei{m}(0)
{m 1}
kij
Формальное решение задачи:
'
1
'
n
1
n
1
n
1
n
2 kl m ( n ) uk{m,l }( n ) ul{,mk }( n ) uk{m|l }( n 1) ul{|km}( n 1)
n 1
( N kij( nn1 ...) jn ,l Nlij( nn1 ...)jn ,k N kij( n1,...n jn1)|l Nlij( n1,...n j n1)|k ) ij 1m... j(0)
n
'
'
'
'
n' 0
n 1
)
( M ki( nn
M li(1nn...in) ,k M ki( n1 .,..nin |l1) M li(1n...,nin |k1) )ei1{..m.i}n(0)
1 ...in ,l
'
'
'
'
n' 0
{m}( n )
i
e
,i
{m} n
|i
{m} n 1
n 1
( M i(j1n...,njn |1)i M ij(1nn... j)n ,i ) ij 1m... j(0)
n
n' 0
n 1
)
{ m}(0)
( K i(1n...,inn | i 1) K i(1nn
...in ,i )ei1 ...in
n' 0
'
'
'
'
7.
Осредненные задачиОсредняем уравнения электромеханики:
d
{m}
i
,i k d
n
n 0
{m}( n )
i
,i k n di{m}( n ) ,i di{,im} 0
n 0
{m 1}(0)
{m 1}
{m 1}
{m}
ij m (0) Cijkl
( N kij
/ l N lij / k ik jl ) ij
{m 1}(0)
Cijkl
( M ki{m|l 1} M li{|mk 1} ) ei{m}
{m}(0)
{m}(0)
vkij
( ik Ki{|km 1} ) ei{m} vkij
M ij{|mk 1} ij{m}
ij{m} , j k n ij{m}( n ) , j ij{m, j} 0
n 0
ij
m (0)
m (0)
{m 1}(0)
ijkl
kl
C
v
{m}(0) {m}(0)
kij
k
e
{m}(0) {m}(0)
di{m}(0) vkij
ij
э{kjm}(0)e{jm}(0)
2 kl m (0) uk ,l m (0) ul .k m (0) uk|l m (1) ul|k m (1)
{m 1} m
kl m N kij
M ki{m|l 1}ei{m}
/ l ij
m
{m 1}
( ik jl N kij
M ki{m|l 1}ei{m}
/ l ) ij
ek{m}( 0) ,{km}( 0) |{km} 1
ek{m} M ij{|mk 1} ij{m} Ki{|km 1}ei{m}
( ik K i{|km 1} )ei{m} M ij{|mk 1} ij m
{m 1} {m}
ij m (0) Cijkl
ij vkij{m 1}ei{m}
{m}(0)
{m 1}
{m 1}
{m}
d k{m}(0) vkij
( N kij
/ l N lij / k ik jl ) ij
{m}(0)
vkij
( M ki{m|l 1} M li{|mk 1} ) ei{m}
э{kjm}(0) ( ik Ki{|km 1} ) ei{m} э{kjm}(0) M ij{|mk 1} i{j m}
dk{m}(0) vkij{m 1} ij{m} эkj{m 1}ei{m}
8.
Осредненные задачиПолучим следующую осредненную задачу:
ij{m, j} 0
{ m}
di ,i 0
m (0)
{m 1} {m}
{ m 1} { m}
С
v
ei
ij
ijpq
ij
ijp
{m}(0)
d {m 1} { m}
{ m 1} { m}
d
v
+
э
ei
k
kpq
ij
ki
{ m}
{ m}
{ m}(0)
{ m}(0)
2
2
u
u
kl
k ,l
l ,k
kl
e {m} e{m} {m}(0)
i
,i
i
i{jm} | n j Si
{m} e , di{m}ni d e
Σ1
Σ2
Эффективные характеристики:
Сijpq Cijkl ( N kpq /l kp lq ) vkij M pq|k ,
vijp Cijkl M kpu |l vkij ( kp K p|k ) ,
d
vkpq
vkpq vkij N ipq / j эkj M pq| j ,
эki vkqj M qiu / j эki эkj Ki| j
9.
Модель нелинейных электро-механических свойств фазкомпозита с кубической группой симметрии.
Линейная тензорная структура функций:
3
Cijkl ( I , x s ) 1 ( u , x s ) ij kl 3 ( u , x s )( ik jl il jk ) 2 ( u , x s ) i j k l
1
эkj ( I , xs ) э( ei , xs ) kj
3
vkij ( I , x s ) v( x s ) k ( i j i j )
1
В качестве конкретных функций примем
следующие зависимости:
E (1 ( u ))
1 ( u )
(1 2 )(1 )
x s V
0,
если
( u ) 0
S b
(1
) ,
u
э( ei , x s ) э ( ei ),
v( x s ) ,
x s V
E
2G (1 ( u ))
(1 )
3 ( u ) 2G (1 ( u ))
Функции ниже полагаем кусочно-гладкими:
( u , x s ) ( u ),
2 ( u )
x s V
u S
если u S
э0 ,
0 ei e s
э ( ei )
э A 1 exp B ( ei e s ) , ei e s
0
10.
Решение для слоистого композитаРассмотрим частный случай, когда композит имеет слоистую структуру, а ЯП композита состоит из N слоев,
ортогональных к направлению 3 . Обозначим далее эту координату ,
в рамках ЯП она изменяется в интервале 0.5 0.5
Свяжем между собой функции N, M, K:
{m}(0)
i 3|3 0
{m}(0)
d3|3 0
m (0)
{m}(0) {m}(0)
Ci{jklm 1}(0) kl m (0) vkij
ek
ij
{m}(0) {m}( 0) {m}(0) {m}(0) {m}(0)
vkij ij
эkj e j
d k
m (0)
uk ,l m (0) ul ,k m (0) l 3uk |3 m (1) k 3ul|3 m (1)
2 kl
e{m}(0 ) {m} 0 {m} 1
,i
i 3 |i
i
m ( 0) 0, u m (1) 0
3
i3
{
m
}(1)
{
m
}(0)
0 d3
0
[[u m (1) ]] 0, [[ m (0) ]] 0, u m (1) 0,
ij
k
k
{m} 1 0, {m} 1 0
u
(0)
(0)
(0)
ij (0) Cijkl ( Nkpq /l kp lq )u (0)
p ,q Cijkl M kp|l , p vkij ( kp K p|k ) , p vkij M pq|k u p ,q
u
(0)
(0)
(0)
dk(0) vkij ( Nipq/l ip jq )u (0)
p ,q vkij M ip / j , p эkj ( ji Ki| j ) , p эkj M pq| j u p ,q
(0)
ij (0) Cijpq u (0)
p , q pij , p
где Cijpq Cijkl ( N kpq / l kp lq ) vkij M pq|k
pij Cijkl M kpu |l vkij ( kp K p|k )
d
(0)
d k(0) kpq
u (0)
p ,q эki , p
где
kpd q vkpq vkij Nipq / j эkj M pq| j
эki vkqj M qiu / j эki эkj Ki| j
11.
Решение для слоистого композитаv
v
v
v
v
3
i
3
3
p
q
(
1
)
(
2
)
3
i
3
3
k
3
3
i
3
С
С
N
C
C
i
p
q
/
3
i
3
k
3
i
3
p
q
i
p
q
p
q
э
э
э
3
3
3
3
3
3
Продифференцируем и подставим в первые два
уравнения системы в нулевом приближении:
ij / j
(0)
Cijkl ( N kpq / l kp lq ) vkij M pq|k 0
/j
0
u
Cijkl M kp|l vkij ( kp K p|k ) / j 0
vkpq vkij N ipq / j эkj M pq| j 0
/k
{m}(0)
d k |k 0
u
vkqj M qi / j эki эki K i| j / k 0
Получим систему из 4 уравнений:
u
Cijkl ( N kpq / l kp lq ) vkij M pq|k 0
/j
/j
C Mu
ijkl kp|l / j vkij ( kp K p|k ) / j 0
vkpq vkij N ipq / j эkj M pq| j 0
/k
vkqj M qiu / j эki эki Ki| j 0
/k
(0)
p ,q
u
( 0)
,p
(0)
p ,q
(0)
,p
Рассмотрим 1 и 3 уравнение
(1)
Ci 3k 3 Nkpq /3 Ci 3 pq v3i 3 M pq /3 Сipq
(2)
v3 pq v3i 3 Nipq /3 э33M pq|3 C pq
(2)
1
M pq|3 C pq
v3 pq v3i 3 N ipq /3 э33
(2)
1
(1)
Ci 3k 3 N kpq /3 Ci 3 pq v3i 3 C pq
v3 pq v3i 3 N ipq /3 э33
Сipq
v3i 3v3 pq
v3i 3v3k 3
v3i 3 (2)
(1)
Nipq /3 Ci 3k 3
Сipq
С pq
Ci 3 pq
э33
э33
э33
Аналогично рассматриваем 2 и 4:
э33 э3 p
э э
C
K i /3 v3i 3
v pi 3 33 3i С pi(3) i 3k 3 Сi(4)
v3q 3
v3q 3
v3q 3
12.
Решение для слоистого композитаОсредняя полученные выражения, можем найти константы:
(1)
Clpq
Fkl ( Dkpq Bk C 1 E pq )
(2)
(1)
С pq
C 1 ( E pq Bl Clpq
)
C pi(3) Fpq Dqi C 1 Bq Ei
Ci(4) ( Ei Bp C pi(3) ) C 1
где
Aik Ci 3k 3 3i 3 3k 3
э33
Bk
3i 3
э33
1
Aik
Dkpq (Ci 3 pq
C (1 3i 3 Bi )
3i 3 3 pq
э33
) Aik
1
E pq э33
( Dipq 3i 3 3 pq )
Fkl Akl Bk C 1 Bl
э
Dqi pi 3 3i 3 p 3 Apq
э33
1
Ei э33
( Dqi 3q3 э3i )
1
13.
Решение для слоистого композитаПолучим следующие эффективные характеристики для слоистого композита:
Сijpq Cijkl ( N kpq /l kp lq ) vkij M pq|k
(1)
(2)
Cijk 3 Akl 3ij Bl Clpq
Cijk 3 Bk 3ij C C pq
Cijpq Cijk 3 Dkpq 3ij E pq ,
d
vkpq
vkpq vkij Nipq / j эkj M pq| j
(1)
(2)
ki 3 Ali - эk 3 Bl Clpq
ki 3 Bi эk 3C C pq
kpq ki 3 Dipq + эk 3 E pq ,
v pij
Cijkl M kpu |l vkij ( kp K p|k )
Cijk 3 Akl 3ij Bl Clp(3) Cijk 3 Bk 3ij C C p(4)
pij Cijk 3 Dkp 3ij E p ,
эki vkqj M qiu / j эki эkj Ki| j
kq 3 Apq эk 3 B p C pi(3) kq 3 Bq эk 3C Ci(4)
эki kq 3 Dqi эk 3 Ei