Решение задачи изгиба многослойной упругопластической пластины

1.

МГТУ имени Н.Э. Баумана
Студенческая научная весна
факультет «Фундаментальные науки»
кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» (ФН-11)
апрель 2022
Решение задачи изгиба многослойной
упругопластической пластины
Руководители:
Заведующий кафедрой ФН-11, профессор, д.ф.-м.н.
Димитриенко Юрий Иванович
Доцент кафедры ФН-11, к.ф.-м.н.
Губарева Елена Александровна
Студент: Шайхлисламова Арина Рустемовна
Москва, 2022

2.

Концептуальная постановка задачи
Моделирование тонких упругопластических пластин играет
важную роль в аэрокосмической отрасли, так как
композиционные материалы широко используются в ракетной
технике.
Композитный сетчатый отсек ракетыносителя «Протон-М»
Композитная сетчатая несущая конструкция корпуса
космического аппарата серии «Экспресс»

3.

Цели и задачи
Найти решение осредненной задачи об изгибе многослойной упругопластической
симметричной пластины.

4.

Математическая постановка задачи (2)
Линейная постановка трехмерной задачи теории течения в скоростях для изотропных
упругопластических сред при малых деформациях:
( k ) 0
i ij
( k 1) ( k )
ij( k ) Сijkl
kl
(k ) 1
(k )
(k )
V
V
kl
k l
l k
2
Vi Vei ; ij( k ) n j Si
T
Vi 0; ij n j 0
(2)
• где k – номер итерации, kl( k ) kl( k )e kl( k ) p- тензор
скоростей полных деформаций, klp - тензор
скоростей пластических деформаций, kle тензор скоростей упругих деформаций, ij(k ) тензор скоростей напряжений, Сijkl( k 1) приведенный тензор упругости, зависящий
от деформаций kl( k 1) и напряжений ij(k 1) на k-1
итерации, а Vi - вектор скорости.
• В данной системе первое уравнение равновесия, второе – линеаризованное
уравнение теории пластического течения,
третье – закон для деформации в скоростях,
четвертое – граничные условия, пятое –
условия идеального контакта.

5.

Решение задачи изгиба многослойной упругопластической пластины
Рассмотрим задачу изгиба прямоугольной упругопластической трехслойной пластины, притом
на нее действует давление, равномерно распределенное по ее длине. В случае симметричного
расположения слоев пластины относительно плоскости 0 , имеем следующие начальные
данные:
(0)( k )
k)
VI(0)( k ) 0, KL
0, TIJ( k ) 0, I(0)(
0,
3
k)
I(1)(
0
3
Пусть пластина шарнирно закреплена на торцах, тогда этому условию соответствуют
следующие граничные условия:
(0)( k )
x 0, x 1: V3(0)( k ) 0,V3,11
0

6.

Решение задачи изгиба многослойной упругопластической пластины
Пусть распределение давления равномерно, p ( x) p0 const при f ( x) 1 .
В итоге имеем следующие решения для k 2
(0)( k )
3
V
x x'
(0)( k )
1
x
0 0
1
( k 1)
D1111
p0
x ''( x '' 1) x '' dx '' dx '
2
x x'
1 x ' 1 p0
1 p
( k 1)
x ''( x '' 1) x '' dx '' dx ' x ( k 1) 0 x ''( x '' 1) x '' dx '' dx '
D1111 2
0 0
0 0 D1111 2
И для k 1 имеем:
(0)(1)
3
V
(0)(1)
1
p
1
x (0) 0 x ''( x '' 1) x '' dx '' dx '
D1111 0 0 2
x x'
(0)(1)
1
p0 x 4 x 3
p0
(0)(1)
x
x
x x3 2 x 2
1
(0)
(0)
2 D1111 12 6
24 D1111
2 p
2 p
3
2
3
2
x
x
2
x
1
x
x
2
x
1
(0)
2
2 (0)(0)
24 D11
24 C1111
(0)(0)
где D11(0) 2C1111

7.

Выводы
В результате проделанной работы было получено решение осредненной задачи
изгиба многослойной упругопластической пластины под действием
равномерно распределенного давления.

8.

Список литературных
источников
• Димитриенко, Ю.И. Механика сплошной среды: учеб. пособие для вузов [Текст]: в 4-х
т. / Ю.И. Димитриенко; Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана - М., 2011. - 463 с. – 1 т.
• Расчет многослойных пластин на основе асимптотической теории осреднения: 2013
МГТУ имени Н.Э. Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Яковлев Д.О.
• Димитриенко, Ю.И. Механика сплошной среды: учеб. пособие для вузов [Текст]: в 4-х
т. / Ю.И. Димитриенко; Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана - М., 2013. - 623 с. - 4 т.
• Димитриенко
Ю.И.,
термоползучести
Губарева
многослойных
Е.А.,
Юрин
тонких
Ю.В.
пластин
Асимптотическая
[Текст]
//
теория
Математическое
моделирование и численные методы. - 2014. - № 4. - С. 18-36.
8

9.

Спасибо за внимание!