Определение автокорреляции

1. Определение автокорреляции

yi a1 xi1 a2 xi 2 ... ar 1xir 1 ar i , i 1, n
Автокорреляция характеризуется тем, что
не выполняется одно из условий ГауссаМаркова:
Cov( i , j ) 0, i j

2. Причины автокорреляции

Обычно автокорреляция встречается в регрессионном
анализе при использовании временных рядов. Для
временных рядов предположение о некоррелированности
ошибок часто не выполняется, так как результаты
предыдущих наблюдений влияют на результаты следующих.

3. Причины чистой автокорреляции

Примеры:
1. y — последовательность значений курса ценной
бумаги; t — время.
yt at b t
Результаты предыдущих торгов влияют на результаты
последующих
cov( t , t 1 ) 0

4. Причины чистой автокорреляции

Примеры:
2. y — спрос на мороженое; x — доход потребителей.
Данные фиксировались ежемесячно в течение нескольких лет.
yt axt b t
( t , t 1 ) 0
y
лето
Положительная автокорреляция
лето
зима
зима
x

5. Причины чистой автокорреляции

( t , t 1 ) 0
y
Отрицательная автокорреляция
x
пилообразная структура ряда

6. Автокорреляция первого порядка

t t 1 t
1 1
случайная составляющая рассматриваемого
уравнения регрессии,
коэффициент автокорреляции первого порядка,
случайная составляющая, 1 , 2 , T
независимы
co r ( t , t 1 )
co r ( t , t s )
s

7. Классический случай (автокорреляция отсутствует)

8. Положительная автокорреляция

t t 1 t , 0
Положительная автокорреляция – наиболее важный для
экономики случай

9. Отрицательная автокорреляция

t t 1 t , 0

10.

Close
(расходы
на одежду)
Год
R_income
(личный
P_close
располагае (индекс
мый доход) цен)
1959,00
36,3
479,70
72,00
1960,00
37,3
489,70
72,90
1961,00
38,9
503,80
73,40
1962,00
39,6
524,90
73,70
1963,00
42,6
542,30
74,50
1964,00
44,2
580,60
75,00
1965,00
46,9
616,30
75,80
1966,00
46,9
646,80
78,00
1967,00
49
673,50
81,40
1968,00
50
701,30
86,00

11.

Коэффици
енты
Стандарт
ная
ошибка
tстатисти
ка
PЗначение
Y-пересечение
-8,64008
2,1769
-3,96898
0,00065
R_income
0,020998
0,01378
1,523784
0,14181
P_close
0,505396
0,110567
4,570932
0,00015
Остатки
6
4
2
0
-2
Остатки
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23 25
-4
-6
График остатков соответствует положительной автокорреляции

12. Последствия автокорреляции

1. Оценки несмещенные, состоятельные,
но неэффективные.
2. Стандартные ошибки занижены, tстатистики завышены. Поэтому выводы
по оценке качества коэффициентов и
модели в целом, возможно, будут
неверными.

13. Обнаружение автокорреляции

1. Графический метод.
2. Критерий знаков.
3. Критерий Дарбина-Уотсона.
4. Тест серий (Бреуша-Годфри)
В специализированных эконометрических пакетах эти тесты есть

14. Тест Дарбина-Уотсона.

yt a1 xt1 ... ar 1 xtr 1 ar t ,
1. Вычислить остатки
et yt yt

15. Тест Дарбина-Уотсона.

yt a1 xt1 ... ar 1 xtr 1 ar t ,
1. Вычислить остатки
et yt yt
2. Вычислить оценку коэффициента автокорреляции остатков
Остатки
Остатки со
сдвигом
-1,521
-1,18583
-1,521
-0,13459
-1,18583
-0,02926
-0,13459
2,201064
-0,02926
2,744158
2,201064
4,290227
2,744158
2,537928
4,290227
Данные – Анализ данных –Корреляция
Столбец 1
Столбец 1
1
Столбец 2
0,715853
Столбец
2
1

16. Статистика Дарбина-Уотсона

3. Вычислить статистику ДарбинаУотсона:
DW 2(1 )
DW 2(1 0,72) 0,57

17. Границы для статистики Дарбина-Уотсона

Границы для статистики ДарбинаУотсона
DW 2(1 )
Если
Если
Если
0, то
1, то
1, то
DW 2
DW 0
DW 4
0 DW 4

18. Критические точки распределения Дарбина-Уотсона

4. Для более точного определения, какое значение
DW свидетельствует об отсутствии автокорреляции,
а какое – о ее наличии, построена таблица
критических точек распределения Дарбина-Уотсона.
По этой таблице для заданного уровня значимости ,
числа наблюдений n и числа регрессоров k
определяются два значения:
dн – нижняя граница, dв – верхняя граница

19. Критические точки распределения Дарбина-Уотсона

20. Расположение критических точек распределения Дарбина-Уотсона

Положительная
автокорреляция
0
dн
Отсутствие
автокорреляции
Отрицательная
автокорреляция
dв
4-dн
2
4-dв
Зоны неопределенности
4

21. Расположение критических точек распределения Дарбина-Уотсона

Положительная
автокорреляция
0
n=25, k=3,
0,57
1,21
0, 05
Отсутствие
автокорреляции
Отрицательная
автокорреляция
1,55
4-1,21
2
4-1,55
Зоны неопределенности
Есть положительная автокорреляция!
4

22. Устранение автокорреляции

yt a1 xt1 ... ar 1 xtr 1 ar t , (1)
t t 1 t , t 2, T , 2 ... T
— независимы
yt 1 a1 xt 11 ... ar 1 xt 1r 1 ar t 1 , (2)
(1) (2)

23. Устранение автокорреляции первого порядка (при известном коэффициенте автокорреляции)

yt yt yt 1, xtj xtj xt 1, j , ar ar (1 )
yt a1 xt 1 ... ar 1 xtr 1 ar t , (3)
В модели (3) выполнены условия Гаусса – Маркова и можно применять МНК
ar
ar
1

24. Устранение автокорреляции (процедура Кохрейна-Оркатта)

1. Вычислить остатки
e1....eT
2. Вычислить коэффициент автокорреляции
остатков
3. Создать переменные:
yt yt yt 1, xt xt xt 1,
4. Оценить модель
yt a1 xt 1 ... ar 1 xtr 1 ar t ,
5. Вычислить
ar
ar
1
6. Записать уравнение модели

25.

R_income
(личный
P_close
располагае (индекс
мый доход) цен)
Close
(расходы
на одежду)
Год
1959,00
36,3
479,70
72,00
1960,00
37,3
489,70
72,90
1961,00
38,9
503,80
73,40
1962,00
39,6
524,90
73,70
1963,00
42,6
542,30
74,50
Коэффици
енты
Стандарт
ная
ошибка
tстатисти
ка
PЗначение
Y-пересечение
-8,64008
2,1769
-3,96898
0,00065
R_income
0,020998
0,01378
1,523784
0,14181
P_close
0,505396
0,110567
4,570932
0,00015
0, 72
et 0,72et 1 t

26. Пример

Создаем новые переменные. Сначала создаем столбцы со сдвигом
Год
close
R_income
P_close
close_1
R_income_1
P_close_1
1959,00
36,3
479,70
72,00
1960,00
37,3
489,70
72,90
36,30
479,70
72,00
1961,00
38,9
503,80
73,40
37,3
489,70
72,90
1962,00
39,6
524,90
73,70
38,9
503,80
73,40
1963,00
42,6
542,30
74,50
39,6
524,90
73,70
1964,00
44,2
580,60
75,00
42,6
542,30
74,50
1965,00
46,9
616,30
75,80
44,2
580,60
75,00

27. Пример

Вычисляем
Close_new=close-0,72*close_1
R_income_new=R_income-0,72*R_income_1
P_close_new=P_close-0,72*P_close_1
close_new
R_income_new
P_close_new
11,16
144,32
21,06
12,04
151,22
20,91
11,59
162,16
20,85
14,09
164,37
21,44
13,53
190,14
21,36
15,08
198,27
21,80

28. Пример

Коэффици
енты
Стандар
тная
ошибка
tстатист
ика
PЗначение
Y-пересечение
-1,91252
1,644437
-1,16302
0,257867
R_income_new
0,018497
0,020957
0,882623
0,387432
P_close_new
0,512144
0,153753
3,330962
0,003172
Остатки
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
Остатки
1
3
5
7
9
11
13 15
17
19 21
23

29. Пример

Коэффици
енты
Стандар
тная
ошибка
tстатист
ика
PЗначение
Y-пересечение
-1,91252
1,644437
-1,16302
0,257867
R_income_new
0,018497
0,020957
0,882623
0,387432
P_close_new
0,512144
0,153753
3,330962
0,003172
ar
1,91
ar
6,82
1 1 0,72
Close=0,02 * R_Income+0,51 * P_close-6,82