Определители. Тема 2

1.

Тема 2. Определители
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить
число det A (или А , или
), называемое ее определителем,
следующим образом:
1. n = 1.
2. n = 2.
3.
n = 3.
Определитель матрицы А также называют детерминантом.
1

2.

Вычисление определителя 2-го порядка, иллюстрируется схемой:
a11 a12
2
a11a22 a12a21
a21 a22
2
2

3.

Примеры:
1)
3 2
3 5 2 1 15 ( 2) 17
1 5
2)
cos x sin x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x
sin x cos x
3)
cos x sin x
2
2
cos x sin x 1
sin x cos x
4)
log 2 32 log 3 27
log 4 16 log 5 125
5 3
15 6 9
2 3
3

4.

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться
правилом треугольника (или Саррюса), которое символически можно
записать так:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
=
a11 a12
a13
a21 a22 a23
–
a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
(основания
равнобедренных
треугольников
параллельны
главной
диагонали)
(основания
треугольников
параллельны
побочной
диагонали)
4

5.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка
5 2 1
= 3 1 4
6 0 3
=5•1•(-3) + (-2)•(-4)•6 + 3•0•1 – 6•1•1 – 3•(-2)•(-3) – 0•(-4)•5 = –15+48–6–18 = 48–39=9.

6.

Пример. Вычислить определитель с помощью
правила диагоналей
5 2 1
= 3 1 4
6 0 3
- -
-+ + +
=5•1•(-3) + (-2)•(-4)•6 + 3•0•1 – (6•1•1+ 0•(-4)•5+ 3•(-2)•(-3)) = =
–15+48 – (6+18) = 33–24=9.

7.

Свойства определителей
1.
Определитель не изменится, если его транспонировать
2.
При перестановке двух строк или столбцов определитель изменит
свой знак на противоположный.
3.
Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами
равен нулю.
4.
Общий множитель всех элементов строки или столбца можно
вынести за знак определителя.
5. Если все элементы двух строк (или столбцов) определителя
пропорциональны, то определитель равен нулю.
6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить
соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные
на одно и то же число, то определитель не изменится.
7. Треугольный определитель равен произведению элементов главной
диагонали.