Расчет ферм

1.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Докладчик
Егерева Эльвира Николаевна
к.ф.-м.н., доцент кафедры Строительной и Теоретической механики

2.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Опр.1 Фермой называется геометрически
неизменяемая конструкция, состоящая из
стержней.
Опр.2 Места соединений стержней называются
узлами. Если оси всех стержней и вся
приложенная к ферме нагрузка расположены в
одной плоскости, ферма называется плоской.
В дальнейшем будем рассматривать только
плоские фермы.

3.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Примером на практике плоской фермы
может служить стропильная ферма.

4.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Другим примером плоской фермы могут
служить конструкции железнодорожного моста.

5.

РАСЧЁТ ФЕРМ
При проектировании и эксплуатации
фермы соблюдаются следующие условия:
1. все стержни прямолинейны;
2. вес стержней пренебрежимо мал по
сравнению с эксплуатационной нагрузкой;
3. нагрузка прикладывается только к узлам
фермы.

6.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Как видно, нагрузка на ферму передаётся
через
продольные
прогоны,
которые
прикреплены к узлам фермы.

7.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Эксплуатационная
нагрузка
через
поперечные балки передаётся на узлы
боковых ферм моста.

8.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Эксплуатационная
нагрузка
через
поперечные балки передаётся на узлы
боковых ферм моста.

9.

РАСЧЁТ ФЕРМ
При
соблюдении
указанных
условий
усилиями, возникающими
при
изгибе
стержней, можно пренебречь по сравнению
с усилиями, возникающими при растяжении –
сжатии.
Это упрощающее предположение положено
в основу методов расчёта ферм.

10.

РАСЧЁТ ФЕРМ
В реальной ферме крепления стержней в
узлах жёсткие. В расчётной схеме крепления
стержней считают шарнирными, что связано с
реализацией
принятого
упрощающего
предположения о возможности пренебречь
усилиями, возникающими при изгибе.

11.

РАСЧЁТ ФЕРМ
При соблюдении оговорённых упрощающих
условий
каждый
стержень
фермы
оказывается
нагруженным
силами,
приложенными на концах стержня.

12.

РАСЧЁТ ФЕРМ
При соблюдении оговорённых упрощающих
условий
каждый
стержень
фермы
оказывается
нагруженным
силами,
приложенными на концах стержня.
Силы, приложенные в одной точке можно
заменить равнодействующей.

13.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Усилие
в
стержне
считается
положительным, если он растянут
и отрицательным, если стержень сжат.
В результате расчёта фермы необходимо
определить реакции опор и найти усилия во
всех стержнях фермы.
Методы расчёта ферм рассмотрим на
примере.
или

14.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН
a
a
a
a
F2=5кН
Необходимо определить усилия во всех
стержнях фермы. Размеры и приложенная к
ферме нагрузка указаны на чертеже.

15.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
A
5
3
1
a
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=5кН
Прежде всего необходимо обозначить все
узлы фермы и пронумеровать все стержни.

16.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
A
5
3
1
a
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=5кН
Полный расчёт фермы, при котором
необходимо определить усилия во всех
стержнях, имеет смысл начать с определения
реакций опор. Для этого рассматривается
равновесие всей фермы.

17.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
A
5
3
1
a
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=5кН
Выбор формы условий равновесия зависит
от количества и расположения опор. Нужно
составлять уравнения таким образом, чтобы
из каждого уравнения определялась одна
составляющая реакций опор.

18.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
5
3
1
a
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
RAY (1)
F2=5кН RBY (4)
∑Fkx=0: RAX+F1= 0
RAX = – F1 = – 2 (кН)
∑MAz(Fk)=0:
– F1∙a – F2 ∙2a + RBY ∙3a = 0
RBY = (2∙1 + 5∙2)/3 = 4 (кН)
∑Fky=0: RAY –F2+RBY=0
RAY =F2–RBY =5–4=1(
1 кН)

19.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
5
3
1
a
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
RAY (1)
F2=5кН RBY (4)
Для проверки правильности полученных
результатов составим уравнение моментов
относительно такой точки, относительно
которой все вычисленные силы реакций
создают ненулевые моменты.

20.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
5
3
1
a
C
E
6
4
9
7
D
8
a
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
RAY (1)
Проверка:
∑ MЕz(Fk) = RAX∙a – RAY ∙2a + RBY ∙a =
= –2∙a – 1∙2a + 4∙a = 0

21.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
a
RAY (1)
5
3
1
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
Метод вырезания узлов.
Метод вырезания узлов состоит в том, что
рассматривается равновесие каждого узла.

22.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
5
3
1
a
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
RAY (1)
F2=5кН RBY (4)
На каждый узел действует плоская система
сходящихся сил, состоящая из приложенных к
данному узлу активных сил и реакций
стержней, присоединённых к данному узлу.

23.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1
S2
G
S6
S5
S3
Для такой системы сил можно составить
только два уравнения равновесия:
∑ Fkx= 0;
∑ Fky= 0 .
Поэтому
равновесие
узлов
нужно
рассматривать
в
определённой
последовательности, позволяющей на каждом
шаге
решения
задачи определять две
очередные неизвестные.

24.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
a
RAY (1)
5
3
1
C
E
6
D
4
a
9
7
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)

25.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Правило знаков:
«+» – растягивающие усилия
(направлены от узла);
«–» – сжимающие усилия.
Изначально при расчете все усилия
предполагаются
положительными
и
направляются от узлов.

26.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
5
3
1
a
C
E
6
D
4
a
9
7
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
RAY (1)
Узел В:

27.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Узел В: S9
S8
y
450
B
x
RBY = 4
∑ Fkx= 0 : – S8 – S9 cos 450 = 0 ;
∑ Fky= 0 : RBY + S9 sin 450= 0 .
RBY
4
= – 4√ 2 (кН);
√2/2
√2
= 4 (кН).
=> S8 = – S9 cos 450 = 4√2 ∙
2
=> S9 =
=
0
sin 45

28.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
5
3
1
a
C
E
6
D
4
a
9
7
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
RAY (1)
Узел Е:

29.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Узел Е:
y
E
450
S6
S7
x
S9 = – 4√2
∑ Fkx= 0 : – S6 + S9 cos 450= 0;
∑ Fky= 0 : – S7 – S9 sin 450 = 0.
√2
= – 4 (кН);
=> S6 = S9 cos 450 = – 4√2 ∙
2
√2
0
= 4 (кН).
=
4√2
∙
=> S7 = – S9 sin 45
2

30.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
5
3
1
a
C
E
6
D
4
a
9
7
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
RAY (1)
Узел D:

31.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Узел D:
S5
S4
y
S7 = 4
450
D
S8 = 4
x
F2 = 5
∑Fky= 0 : S5 sin 450 + S7 – F2 = 0;
∑Fkx= 0 : – S4– S5 соs 450 + S8 = 0.
=> S5 =
F 2 – S7
= (5 – 4)√2 = √2 (кН) ;
sin 450
√2
=> S4 =– S5 соs 450 + S8 =–√2
+ 4 = 3(кН).
2

32.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
5
3
1
a
C
E
6
D
4
a
9
7
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
RAY (1)
Узел C:

33.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Узел C:
y
S3
S1
С
S4 = 3
∑ Fkx= 0 : – S1 + S4 = 0;
∑ Fky= 0 :
S3 = 0 .
=> S1 = S4 = 3 (кН) ;
=> S3 = 0 (кН).
x

34.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
5
3
1
a
C
E
6
D
4
a
9
7
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
RAY (1)
Узел A:

35.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Узел A:
y
S2
А
450
S1 = 3
RAX =–2
x
RAY = 1
∑ Fky= 0 : S2 sin 450 + RAY = 0
=> S2 = –
RAY
sin 450
= – √2 (кН) .

36.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Проверка
Узел A:
y
S2
А
RAX =–2
450
S1 = 3
x
RAY = 1
∑ Fkx= RAX + S1 + S2 sin 450 =
= – 2 + 3 – √2
√2
= 0
2

37.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
5
3
1
a
C
E
6
D
4
a
9
7
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
RAY (1)
Узел G:

38.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Узел G:
F1 = 2
y
G
450
S6 = – 4
450
S2 = –√2
x
S5 = √ 2
S3 = 0
∑ Fkx= F1 + S6 – S2 cos 450 + S5 cos 450 =
√2
√2
+ √2 ∙
=0
2
2
∑ Fky= – S2 sin 450 – S5 sin 450 =
= 2 – 4 + √2 ∙
= √2 ∙
√2
√2
– √2∙
= 0
2
2

39.

РАСЧЁТ ФЕРМ
?
Метод вырезания узлов в некоторых
случаях
представляется
неоправданно
трудоёмким. Рассмотрим ферму.
Требуется определить усилие только в
одном, выделенном на чертеже, стержне.

40.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Для определения искомой неизвестной
необходимо составить и решить систему,
состоящую из
21-го
уравнения.
Три
уравнения равновесия фермы в целом
потребуются для определения опорных
реакций.

41.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Ещё 18 уравнений появятся, по мере
рассмотрения
равновесия
узлов
при
движении по кратчайшему пути от левого
(неподвижного) шарнира к нужному нам
стержню.
Понятно, что при решении системы,
состоящей из 21-го уравнения, несложно
допустить ошибку.

42.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Чтобы
убедиться
в
правильности
полученного
результата,
необходимо
составить
проверочные уравнения.
Для
этого придётся продолжить рассмотрение
равновесия узлов фермы.

43.

РАСЧЁТ ФЕРМ
В четырёх уравнениях, составленных
для последних двух узлов, будет только
одна неизвестная величина – усилие в
последнем
стержне.
Оставшиеся
три
уравнения
должны
выполняться
тождественно,
то
есть выполняют роль
проверочных уравнений.

44.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Определение усилий в стержнях фермы
методом сквозных сечений.
Метод сквозных сечений состоит в том, что
ферма разделяется сечением на две части и
рассматривается равновесие одной из этих
частей. Сечение проводится через стержень,
в котором необходимо определить усилие.

45.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Метод сквозных сечений состоит в том, что
ферма разделяется сечением на две части и
рассматривается равновесие одной из этих
частей. Сечение проводится через стержень,
в котором необходимо определить усилие.

46.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Можно рассмотреть равновесие любой из
образовавшихся частей
фермы.
Для
рассматриваемой
части
«разрезанные»
стержни служат опорами. Их реакции входят в
систему внешних сил, приложенных к
рассматриваемой части фермы.

47.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Можно рассмотреть равновесие любой из
образовавшихся частей
фермы.
Для
рассматриваемой
части
«разрезанные»
стержни служат опорами. Их реакции входят в
систему внешних сил, приложенных к
рассматриваемой части фермы.

48.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Любая из частей фермы находится под
действием плоской системы сил, для которой
можно составить только три независимых
уравнения равновесия. По этой причине
сечение, по возможности, проводится через
три стержня фермы.

49.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
a
RAY (1)
5
3
1
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
Рассмотрим пример расчёта фермы при
помощи метода сквозных сечений.

50.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
a
RAY (1)
5
3
1
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
Пусть требуется найти усилие S6.

51.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
a
RAY (1)
5
3
1
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
Пусть требуется найти усилие S6.
Можно провести сечение через четвёртый,
пятый и шестой стержни.

52.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
1
a
RAY (1)
E
3
7
C
D
a
9
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
Пусть требуется найти усилие S6.
Можно провести сечение через четвёртый,
пятый и шестой стержни.

53.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
a
RAY (1)
5
3
1
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
Однако, можно провести и другие сечения.
Например, через шестой, седьмой и восьмой
стержни.

54.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
a
RAY (1)
5
3
1
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
Однако, можно провести и другие сечения.
Например, через шестой, седьмой и восьмой
стержни.

55.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
a
RAY (1)
5
3
1
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
Остановимся на первом варианте.

56.

РАСЧЁТ ФЕРМ
F1=2кН G
2
RAX (-2)A
1
E
3
7
C
D
a
RAY (1)
Рассмотрим
фермы.
a
9
8
a
B
a
F2=5кН RBY (4)
равновесие
правой
части

57.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Всего
неизвестных
величин три. Определить
нужно только одну из них
– S6 . Линии действия сил
S4 и S5 проходят через
точку D. Поэтому для
определения
S6
составляем
уравнение
равенства нулю суммы
моментов
всех
сил
системы
относительно
точки D.
S6
E
a
S5
S4
B
D
a
F2= 5кН
RBY(4)

58.

РАСЧЁТ ФЕРМ
∑ MD z(Fk) = 0 :
S6
S6 ∙a + RBY ∙a = 0
S5
S6 = – RBY = – 4 (кН)
S4
E
a
B
D
a
F2= 5кН
RBY(4)

59.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Пусть требуется
найти усилие S4 .
G
S6
∑ MG z(Fk) = 0 :
S5
– S4 ∙a – F2 ∙a + RBY ∙2a = 0
S4
S4 = – F2 + 2RBY =
a
= – 5 + 2 ∙4 = 3 (кН)
E
a
B
D
a
F2= 5кН
RBY(4)
Линии действия «ненужных» сил S5 и S6
пересекаются в точке G. Поэтому составляем
уравнение равенства нулю суммы моментов
всех сил относительно этой точки.

60.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Пусть требуется
найти усилие S5 .
G
S6
уE
a
S5
S4
a
B
D
a
F2= 5кН
RBY(4)
Как видно, нет точки пересечения линий
действия сил S4 и S6.
Но эти силы имеют нулевую проекцию на
вертикальную ось.

61.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Пусть требуется
найти усилие S5 .
∑ Fky= 0:
S5
sin 450 – F
G
S6
уE
a
S5
2 + RBY = 0;
=> S5 = √2 (кН).
S4
a
B
D
a
F2= 5кН
RBY(4)
Поэтому составляем уравнение равенства
нулю суммы проекций всех сил на
вертикальную ось Dy.

62.

СПАСИБО
ЗА ВНИМАНИЕ!