Metoda coardelor (secantei)

1. Metoda coardelor (secantei)

2. Metoda coardelor

1. Metoda este utilizată pentru găsirea rădăcinii
aproximative a ecuaţiei f(x)=0 izolate într-un
interval a, b în cazul în care f(a)*f(b)<0 cu
aproximarea prestabilită.
2. Se consideră ecuaţia f(x)=0. Funcţia f(x) este
continuă pe[a, b]. Presupunem că în urma unui
proces de separare a rădăcinilor ecuaţia f(x)=0
are cel mult o rădăcină în [a, b].
3. Prin - notăm rădăcina ecuaţiei pe [a, b].

3. Metoda coardelor

Intervalele succesive a1, b1 , a2, b2 … ai, bi se obţin
prin împărţirea intervalului anterior în raportul
f(ai -1,)/f(bi -1)
Metoda secantei este echivalentă cu înlocuirea f(x),
prin coarda care trece prin punctele (ai, f(ai)) şi (bi,
f(bi))

4. Metoda coardelor

Din ecuaţia coardei
se poate obţine coordonata punctului de intersecţie xi al
coardei cu axa absciselor
După un anumit număr de paşi se obţine, fie o rădăcină exactă
=xi, astfel încît f(xi)=0, fie o secvenţă de intervale
[a0, b0], [a1, b1]… [ai, bi]…
Cu ai+1 = ai , bi+1= xi , dacă f(ai)*f(bi) 0
ai+1 = xi , bi+1= bi , dacă f(ai)*f(xi) 0.

5. Metoda coardelor

Fie f'' (x) > 0, unde a х b (cazul f'' (x) < 0 se reduce la
cazul analizat dacă ecuaţia este rescrisă în formă f(x) = 0. Atunci curba у = f(x) este concavă şi se află
mai jos de coarda sa АВ. Sunt posibile două situaţii: 1)
f(а) > 0 (Fig. 2, а) şi 2) f(a) < 0 (Fib 2, b).

6. Metoda coardelor

În primul caz capătul а al segmentului rămîne
nemişcat, dar iteraţiile consecutive:
x0 = b;
formează un şir mărginit, monoton descrescător cu
proprietate:
În cazul al doilea rămîne nemişcat capătul b, dar
iteraţiile consecutive:
x0 = а;
(2)

7. Generalizînd, conchidem:

1. Nemişcat este acel capăt al intervalului pentru
care semnul funcţiei f (х) coincide cu semnul
derivatei de ordinul doi f'' (х);
2. Aproximări consecutive xn se află în acea parte de
rădăcină unde funcţia f (х) are semnul opus
semnului derivatei de ordinul doi f'' (х).

8. Exerciții

Determinaţi soluţiile ecuaţiilor, utilizând metoda
coardelor: