Решения дифференциальных уравнений

1.

2.

Что такое дифференциальное уравнение?
Дифференциальное уравнение — это уравнение, в которое входят производные функции и могут
входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядок входящих в уравнение
производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции,
независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут
отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной.

3.

Где используются?
Дифференциальные уравнения имеют широкое применение как в различных разделах самой
математики, так и в смежных науках: в механике, физике, технике, химии, биологии, экономике и
т. д. Это объясняется тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих задач
окружающего мира, в которых обнаруживается связь между какими-либо величинами и количественными
их изменениями, возникающими при изменении времени, координат или других параметров.

4.

Что называют порядковым дифференцированием?
Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, которая входит в это
уравнение.
Решением дифференциального уравнения называют функцию y = φ (x), которая при подстановке в уравнение
на место неизвестной функции превращает это уравнение в тождество.
Решение дифференциального уравнения, заданное неявным соотношением, Ф (x, y) = 0 называют интегралом
этого уравнения.

5.

Что такое линейное дифференциальное уравнение?
Линейное дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором все (y) и его
производные, входят только в первой степени и не перемножаются между собой.
Что такое особое решение дифференциального уравнения?
Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках
которого условие единственности Коши не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у)
существует не менее двух интегральных кривых.

6.

Что такое общий интеграл дифференциального уравнения?
Общим решением (общим интегралом) дифференциального уравнения называют такую функцию, которая
преобразует данное уравнение в тождество и содержит столько независимых произвольных устойчивых,
как порядок этого уравнения.
Процесс нахождения общего решения называют интегрированием дифференциального уравнения.
Геометрически, общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство)
всех интегральных кривых.

7.

Какой подстановкой решается однородное дифференциальное уравнение?
Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка,
используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда
y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения: y’=
(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи:
dy=udx+xdu.После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с
разделяющимися переменными.

8.

Однородные дифференциальные уравнения:
Функция y=φ(x,у) называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении
каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λn , т.е.
f(λ . x; λ . y)= λn . f(x, y).
Дифференциальное уравнение y’= f(x, y) называется однородным, если функция f(x, y) есть
однородная функция нулевого порядка.

9.

Уравнения с разделяющимися переменными:
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка:
Обыкновенные дифференциальные уравнения:

10.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. www.gimp.org/
2. docs.gimp.org/ru/
3. gimp-savvy.com/BOOK/
4. ru.wikipedia.org/