Задачи приводящие к понятию дифференциальных уравнений. Виды дифференциальных уравнений первого порядка. Лeкция № 5-6

1. ЛEКЦИЯ № 5-6

Задачи приводящие к понятию
дифференциальных уравнений.
Виды дифференциальных уравнений
первого порядка

2. Основные понятия

При решении различных задач математики, физики, химии и других
наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений,
связывающих независимую переменную, искомую функцию и её
производные. Такие уравнения называются дифференциальными.
n
F x; y; y ; y ; ...; y
0
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при
подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Если искомая функция зависит от одной переменной, то
дифференциальное уравнение называют обыкновенным, в противном случае
- дифференциальным уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное
уравнение, называется порядком этого уравнения.
Например, уравнение y 3 y 2 y 0 - дифференциальное уравнение
третьего порядка, а уравнение x 2 y 5xy y 2 - дифференциальное
уравнение первого порядка.
Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется
его интегрированием, а график решения – интегральной кривой.

3. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Задача. Найти кривую, проходящую через точку А (4;1), зная, что отрезок любой
касательной к ней, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
Решение. Пусть М(х;у) – произвольная точка кривой, уравнение которой y f (x)
Для определенности предположим, что кривая расположена в первой четверти.
y f (x )
А
М
y
x
О
С В
Для составления уравнения воспользуемся геометрическим смыслом производной:
y tg . Из рисунка видно, что tg ( MBC ) MC . Но
BC
tg ( MBC ) tg (1800 ) tg
,MC y
По условию задачи АМ=МВ, следовательно, ОС = СВ = х.
Таким образом. Получаем tg
уравнения является функция
y
4
x
y
x
или
y
y
x
. Решением полученного

4. Другие задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Закон измерения массы радия описывается дифференциальным уравнением
dm
km
dt
где k 0 - коэффициент пропорциональности, m(t ) - масса радия в момент t.
Закон изменения температуры тела в зависимости от времени,
описывается уравнением dT
dt
k T t0
гдеT (t ) - температура тела в момент времени t, k - коэффициент
пропорциональности, t 0 - температура воздуха.
dm
km, где k 0 .
dt
«Закон размножения бактерий» описывается уравнением
Закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем
моря описывается уравнением
dp
dh
kp
где p (h ) - атмосферное давление воздуха на высоте h, k 0

5. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого называется уравнение , связывающее
независимую переменную х, искомую функцию у и ее производную первого порядка.
Обозначение:
F ( x, y, y ) 0 или y f ( x, y )
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется
функция y ( x, C ), C const , удовлетворяющая исходному уравнению при любых
значениях постоянной С.
Геометрически общее решение представляет собой множество интегральных
кривых на плоскости, зависящих от одного параметра С.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение ,
полученное из общего решения при фиксированном значении постоянной С.
Для того чтобы из общего решения выделить одно частное решение задают так
называемые начальные условия y y0 при x x0 .

6.

Задача
нахождения
частного
решения
дифференциального
уравнения,
удовлетворяющего заданным начальным условиям называется задачей Коши
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка может быть
сформирована следующим образом:
Найти решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее
начальному условию y y0 при x x0 .
Другими словами: найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую
через точку M 0 ( x0 ; y0 ) .
Теорема существования и единственности решения задачи Коши:
Если в дифференциальном уравнении y f ( x, y ) функция f ( x, y ) и её
частная производная f y ( x, y ) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку
M 0 ( x0 ; y0 ) , то существует единственное решение
удовлетворяющее заданным начальным условиям
y ( x, C )
этого уравнения,

7. Виды дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения
Линейные дифференциальные уравнения
Уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения Лагранжа и Клеро

8. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Дифференциальное уравнение вида M ( x)dx N ( y )dy 0
называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.
Его общим интегралом является
M ( x)dx N ( y)dy C , где С – произвольная постоянная
Пример. Решить дифференциальное уравнение
( x 2)dx ( y 1)dy 0
Решение. Проинтегрируем обе части этого уравнения:
( x 2) dx ( y 1) dy C
вычислив интегралы, получим:
x2
y2
2x
y C
2
2
Получили общее решение или общий интеграл исходного уравнения.

9. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
называется уравнение вида
y f ( x) ( y ) или M1 ( x) N1 ( y)dx M 2 ( x) N2 ( y)dy 0
Алгоритм решения:
По определению производной y dy
dx
тогда
dy
f ( x) ( y )
dx
Умножим обе части уравнения на dx, получим:
dy f ( x) ( y ) dx
dy
Разделяем переменные:
f ( x) dx
( y)
Проинтегрируем обе части уравнения:
Окончательно будем иметь:
интеграл.
dy
( y) f ( x) dx
Ô(y) F(x) C - общее решение или общий

10.

Пример. Решить дифференциальное уравнение:
2 y x y ,
Решение.
Умножаем на dx:
y
2 x dy ydx
Разделяем переменные:
Интегрируем:
Общее решение:
dy
dy
, 2
x y
dx
dx
dy
dx
y
2 x
dy
dx
y 2 x
ln y x C

11.

Алгоритм решения уравнения
M1 ( x) N1 ( y)dx M 2 ( x) N2 ( y)dy 0
Переносим одно слагаемое в правую часть
M1 ( x) N1 ( y)dx M 2 ( x) N2 ( y)dy
Разделяем переменные:
M 1 ( x)
N ( y)
dx 2
dy
M 2 ( x)
N1 ( y )
Интегрируем обе части уравнения:
M 1 ( x)
N 2 ( y)
dx
M 2 ( x)
N1 ( y) dy
Вычисляя интегралы, получим общее решение:
M ( x) N ( y ) C

12.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
( xy y )dx ( xy x)dy 0
Решение: Данное уравнение приводится к виду:
y ( x 1)dx x( y 1)dy 0
Разделив переменные, получим
Интегрируем:
( x 1)
y 1
dx
dy
x
y
( x 1)
y 1
dx
x
y dy
1
1
1
dx
x
1 y dy
Общее решение:
x ln x y ln y C

13. Однородные дифференциальные уравнения

Функция f ( x, y ) называется однородной функцией n–го измерения,
если при любом t выполняется условие
f (tx, ty) t n f ( x, y)
Пример 1. f (x, y) 3 x 3 y3 однородная функция первого измеряется, т.к.
f (tx, ty) t 3 x 3 y 3
Пример 2. Функция f ( x, y) xy y 2 есть однородная функция второго
измерения, т.к.
f (tx, ty) (tx)(ty) (ty) 2 t 2 ( xy y 2 )
2
2
Пример 3. Функция f ( x, y) x y
xy
измерения, т.к.
есть однородная функция нулевого
(tx) 2 (ty) 2 x 2 y 2
f (tx, ty)
(tx) * (ty)
xy

14.

Дифференциальное уравнение первого порядка
dy
f ( x, y )
dx
называется однородным относительно переменных x,y, если функция f ( x, y )
есть однородная функции нулевого измерения относительно переменных x,y.
dy
y
Однородное уравнение может быть представлено в виде dx x
C помощью новой переменной u вводимой по формуле
y ux
уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Действительно, так как y ux, , то y u x u . Получим:
u x u (u )
du
dx
(u ) u x
du
dx
Интегрируя последнее уравнение, получим
(u ) u x
Откуда x
du
(u ) u
dx
Общее решение:
или
Ф(u ) ln x C ,
y
Ф ln x C
x

15.

Пример. Решить дифференциальное уравнение
y
x y
y x
Решение. Сделаем подстановку y ux , тогда y u x u
u x u
1 u
u 1
Откуда
(u 1)du
dx
x
1 2u u 2
или
Интегрируя это уравнение, получим
и получим
1
ln x ln 1 2u u 2 ln C
2
x 1 2u u 2 C
Подставив в это выражение значение
данные уравнения
u
y
x
x 2 2 xy y 2 C 2
получим общий интеграл

16. Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение вида y p( x) y g ( x)
называется линейным
дифференциальным уравнением первого порядка, где p(x) и g(x) заданные непрерывные
функции.
Решение уравнения следует искать в виде произведения двух функции
, тогда
y u ( x) v( x)
y u v uv
Подставляя в уравнение, получим
u v uv p( x)uv g ( x)
или u v u (v p( x)v) g ( x)
dv
Выберем функцию v так, чтобы
p( x)v 0 . Интегрируя это уравнение
dx
получим
p ( x ) dx
v e
Подставляя найденную функцию v в исходное уравнение , получим
g ( x)
du
отсюда найдём u
dx C
v ( x)
g ( x)
dx
v ( x)
Тогда общее решение уравнения с учетом найденных функций u и v примет вид
p ( x ) dx
p ( x ) dxdx C
y e
g
(
x
)
e

17.

Пример 1. Решить уравнение dy 2 y ( x 1)3
dx
.
x 1
v
u
Решение. Полагая y u v , тогда
dx
dx
dx
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим
du
2
du
dv
2
dv
или
v
u
v ( x 1)3
v
u
u v ( x 1)3
dy
dx
dx
x 1
dx
du
dx
dv
x 1
Для определения будем полагать dv 2 v 0 .
dx
Откуда
dx
2 x 1
v e
x 1
( x 1) 2
du
( x 1) 2
( x 1)3
Тогда
dx
Откуда получим
2
u
( x 1)
C
2
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
( x 1) 2
y
C ( x 1) 2
2

18. Уравнение Бернулли

Уравнение вида
y p( x) y g ( x) y n
где p(x) и g(x) заданные непрерывные функции, n 0, n 1 , (в частном
случае p(x) и g(x) могут быть постоянными) называется уравнением Бернулли.
С помощью подстановки z y1 n
свести к линейному уравнению.
Разделим уравнение Бернулли на y n
примет вид
уравнение Бернулли можно
, тогда это уравнение
y n y p( x) y1 n g ( x)
Учитывая, что
найдем
z (1 n) y n y
z (1 n) p ( x) z (1 n) g ( x)

19.

Пример 2. Решить уравнение
y
x2 y 2
x
Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли, для
которого n 2 . Разделим обе части данного уравнения на y 2 , получим
1
y 2 y y 1 x 2
x
y
Сделаем подстановку z y 1 , тогда z y 2 y
Подставим эти выражения в данное уравнение
z
z
2
или
z
x2
z x
x
x
Это уравнение является линейным уравнением.
1
p
(
x
)
, g ( x) x 2 , тогда общее решение уравнения будет иметь вид
Здесь
x
dx
dx
или
x x
z e e
( x 2 )dx C
x3
z x ( x)dx C Cx
2
Возвращаясь к переменной у получим общее решение исходного
уравнения
1
x3
2
Cx
y
или
y
2
2 C x x3