Определение дифференциального уравнения, его порядка и его решения

1. Определение дифференциального уравнения, его порядка и его решения

Дифференциальным уравнением называется
уравнение, связывающее независимую переменную
x, неизвестную функцию y(x) и ее производные.
Порядком дифференциального уравнения
называется порядок старшей производной, входящей
в это уравнение.
Это дифференциальное уравнение третьего порядка.

2. В общем случае дифференциальное уравнение порядка n имеет следующий вид:

Дифференциальное уравнение порядка n,
разрешенное относительно старшей производной:
y
(n)
( n 1 )
f ( x,y,y ,y , ,y
)
Решением дифференциального уравнения
называется функция, которая при подстановке в
это уравнение вместе со своими производными
обращает его в тождество.

3. Пример

Дифференциальное уравнение:
Его решение: y cos2 x
Проверка:
Подставим функцию y cos2 x в уравнение
y 2sin 2 x,
y 4cos2 x
4cos2 x 4cos2 x 0
0 0

4. Дифференциальные уравнения первого порядка

F( x,y,y ) 0
или
y f ( x,y )
Например,
xy x 2e y 3 0
y
y
sin x
x

5. График решения дифференциального уравнения называется его интегральной кривой.

Пример.
y 2 x,
Мы знаем, что y
dy
, подставим в уравнение:
dx
dy
2 x, умножим обе части уравнения на dx:
dx
dy 2 x dx, проинтегрируем это уравнение:
y x 2 C , где С - произвольная
dy
2
x
dx,
постоянная.

6. Интегральные кривые уравнения

которые представляют собой семейство парабол

7.

8. Так как задание начального условия означает задание координат точки на плоскости, то геометрический смысл задачи Коши:

Найти интегральную кривую дифференциального
уравнения y f ( x, y) , проходящую через точку M 0 ( x0 , y0 )

9. Рассмотренные задачи показали, что дифференциальные уравнения первого порядка имеют бесчисленное множество решений.

Эти решения задаются формулой: y ( x,C ) , где
С - произвольная постоянная. Это - общее решение
дифференциального уравнения первого порядка.
Частное решение - это решение, получающееся из
общего при определенном значении C.
Чтобы из множества решений выделить одно,
задают начальное условие:
y x x0 y0
Начальное условие во многих физических задачах является
математической записью начального состояния процесса.

10. Теорема Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

Если в дифференциальном уравнении
функция f ( x, y ) непрерывна в некоторой области
D, содержащей точку
, то существует
решение этого уравнения, удовлетворяющее
начальному условию
.
Если, кроме того, непрерывна и частная
производная f , то это решение единственно.
y

11. Геометрический смысл теоремы Коши:

Если в плоской области D выполняются оба
условия теоремы Коши, то через каждую точку
этой области проходит единственная интегральная
кривая дифференциального уравнения.

12. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (1)

называется функция
, зависящая от x и
произвольной постоянной С и удовлетворяющая
следующим двум условиям:
1). Эта функция является решением
дифференциального уравнения (1) при любых
значениях произвольной постоянной C.
2). Из этой функции
можно получить
частное решение y ( x,C0 ), удовлетворяющее
начальному условию
, определив с помощью
этого условия значение произвольной постоянной С.

13. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными
называется уравнение вида
y f ( x) g ( y )
(1)
Или
X ( x )Y( y )dx X 1( x )Y1( y )dy 0
(2)

14. (1) Разделив обе части уравнения (1) на и умножив на dx, будем иметь

y
dy
dx
dy
f ( x) g ( y )
dx
(1)
Разделив обе части уравнения (1) на g ( y ) и
умножив на dx, будем иметь
dy
f ( x)dx
g ( y)
dy
g ( y) f ( x)dx C

15.

16. Решить уравнение

y tg 1 x y a
dy 1
tg x y a
dx
tg 1 xdy ( y a)dx
Разделяем переменные
dy
tg xdx
y a
dy
y a tg xdx
a const

17. Вычисляем интегралы

ln | y a | ln | cos x | ln | C |
Используем свойства логарифмов
C
ln | y a | ln
cos x
| y a |
C
cos x
y a
y a
C
cos x , но С - любое число, поэтому
C
cos x
y
C
a
cos x

18.

19. Решить задачу Коши:

y sin x y ln y,
y
x
Сначала найдем общее решение.
2
e

20. Для этого подставим , умножим уравнение

Для этого подставим y
dy
, умножим уравнение
dx
на dx и разделим переменные:
dy
dx
y ln y sin x
dy
dx
y ln y sin x
x
ln | ln y | ln | tg | ln | C |
2
x
ln y C tg
2
x
ln | ln y | ln | C tg |
2
y e
C tg
x
2

21. Вычисление

dx
sin x
1 способ - универсальная тригонометрическая
x
подстановка tg t
2
x
2dt
arctg t , x 2arctg t , dx
2
1 t2 ,
Тогда
sin x
2tg
1 tg
Значит
x
2
или
2 x
sin x
2t
1 t2
2
2dt
2
dx
dt
x
1
t
ln
|
t
|
C
ln
|tg
| C
sin x 2t t
2
1 t2
dx
x
ln
|
tg
| C
sin x
2

22. Второй способ вычисления

x
d
dx
dx
2
sin x x x x x
2sin cos
sin cos
2
2
2
2
x
d
2
x
x
cos 2
d (tg )
2
2 ln | tg x | C
x
x
2
sin
tg
2
2
x
cos
2

23. Продолжим решение задачи Коши.

Общее решение нашли
y e
Есть начальное условие
y
e e
C tg
x
C tg
x
2
e
2
y e
4
tg
x
2
e eC C 1
y e
tg
x
2
- частное решение
или решение задачи Коши

24. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

дифференциальное уравнение вида
y
y f
x
называется однородным дифференциальным
уравнением первого порядка.

25. Примеры.

y
y f
x
Примеры.
2
1.
x
y
y sin 5 2
x
y
2.
xy y ln
3.
y
x y
x y
y
x

26. Как решаются однородные дифференциальные уравнения первого порядка?

При помощи подстановки
y
u или y ux ,
x
где u – новая неизвестная функция.
Получим уравнение с разделяющимися
переменными.
Можно также применить подстановку x uy.

27. Пример. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

y
x
y e
Полагаем
y
x
, тогда y ux и y u x u
u x u eu u
u x eu

28. Получили уравнение с разделяющимися переменными

Подставим u
du
,
dx
e u du
dx
x
u
e
du
dx
x
e u ln| x | C
e
y
x
ln| x | C
- общий интеграл

29.

30. Решение

y
x y
x y
Разделим числитель и знаменатель на x
y
x
y
y
1
x
1
,
y ux ,
u x u
- однородное
y u x u ,
1 u
1 u
1 u2
u x
1 u
1 u
dx
du
1 u2
x
1 u
dx
du
x
1 u2

31.

Продолжение решения
1 u
dx
du
1 u2
x
u
dx
1
du
1 u 2 1 u 2 x
du
1 d (1 u 2 ) dx
1 u 2 2 1 u 2 x
1
arctg u ln(1 u 2 ) ln | x | ln | C |
2
y
arctg ln C x 2 y 2
x

32. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Линейное уравнение первого порядка – это
уравнение вида
y P( x) y Q( x)
(или уравнение, которое можно привести к такому виду)
Примеры:
y 2 xy xe
x2
xy 2 y 2 x 4

33. Метод Бернулли решения линейного уравнения

Применяем подстановку:
y uv
где u и v – новые неизвестные функции от x .
Подставим в данное уравнение y P ( x) y Q( x)
y uv, y u v uv
Получим
Пусть
u P( x)u v v u Q( x)
u P ( x)u 0, тогда
v u Q (x )

34. Пример

Найти общее решение.
u v uv 2 xuv xe
u v u (v 2 xv) xe
1. v 2 xv 0
x2
x2
2.
u v xe
x2

35. Решаем сначала первое уравнение:

1.
2.
dv
2 xv
dx
dv
2 xdx
v
dv
v 2 xdx
ln | v | x 2 ln | C |
v Ce
x2
, пусть C 1
v e
x2
u v xe
u e
x2
x2
xe
x2
u x
x2
u C
2
Так как y uv ,
x2
x2
y C e
2

36. Решить задачу Коши.

y y tg x sec x, y x 0 0

37. Решение

Найдем сначала общее решение
y y tg x sec x
y uv, y u v uv
u v uv uvtg x
u v u (v vtg x)
1.
v vtg x 0
dv
v tg xdx
1
v
cos x
1
cos x
1
cos x
2.
u v
1
cos x
u 1
u x C
x C
- общее решение
y
cos x

38. Найдем частное решение (решение задачи Коши)

- общее решение, y x 0 0 - начальное
условие.
0 C
0
C 0
cos0
x
y
- частное решение или
cos x
решение задачи Коши.

39. Уравнение Бернулли

1.
y P( x) y Q( x) y
0 и 1
Пример
y
4
y x y
x
Ответ:
4 1
y x ln | x | C
2
2

40.

41. Понятие об особом решении

Рассмотрим уравнение y 3 3 y 2
dy
33 y2
dx
dy
3
y
2
3dx
2
3
y dy 3 dx
1
3
y x C
y ( x C )3 - общее решение

42.

43. При разделении переменных исключили случай

y 0
Проверим дополнительно, является ли
решением.
Проверка.
Левая часть: y 0. Правая часть: 3 y 2 3 02 0
является решением уравнения.
- особое решение.
Через точки особого решения проходят два
решения.

44. Свойства особого решения.

1. Как и всякое решение оно удовлетворяет
дифференциальному уравнению.
2. Рассмотрим условие теоремы Коши для уравнения
y f ( x, y) в точках особого решения.
, f ( x, y ) 3 3 y 2
1
df
2 3
2
3 y
имеет точки разрыва при y 0 .
3 y
dy
3
df
В точках особого решения dy имеет разрыв, т.е.
нарушается условие единственности теоремы Коши.

45. Особым решением называется такое решение дифференциального уравнение, которое во всех своих точках не удовлетворяет свойству

единственности, т.е.
в любой окрестности каждой точки особого
решения существуют по крайней мере две
интегральные кривые, проходящие через эту точку.