Основні характеристики варіюючих об'єктів структурні середні та методи їх обчислення

1. ОСНОВНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРІЮЮЧИХ ОБ'ЄКТІВ СТРУКТУРНІ СЕРЕДНІ ТА МЕТОДИ ЇХ ОБЧИСЛЕННЯ

План
1.
2.
3.
4.
Статистичні характеристики варіюючих показників
Середня арифметична
Середня квадратична
Середня кубічна

2. Статистичні характеристики варіюючих показників

Варіаційні ряди і їх графіки дають наочне уявлення про варіювання
ознак, але вони недостатні для повного опису варіюючих об'єктів.
Для цього існують особливі, логічно і теоретично обґрунтовані
числові показники - статистичні характеристики. До них
відносяться середні величини і показники варіації.
На відміну від індивідуальних числових характеристик середні
величини
характеризуються
більшою
стійкістю,
здатністю
відображати цілу групу однорідних одиниць одним (середнім)
числом.
Середні величини прийнято позначати тими ж прописними буквами
латинського алфавіту, що й варіанти, з тією лише різницею, що над
буквою, відповідній середній величині, ставлять межу. Так, якщо
ознака позначена через X, то його числові значення виражають
буквою xi, середню арифметичну — х , середню гармонійну xh і т. д.
При обчисленні середніх величин та інших статистичних
характеристик не обов'язково розподіляти початкові дані у
варіаційний ряд.

3. Середня арифметична

х
Із загалу середніх ступеневих найчастіше використовують середню
арифметичну. Цей показник є центром розподілу, навколо якого
групуються всі варіанти статистичної сукупності.
Середня арифметична може бути простою і зваженою.
Просту середню арифметичну визначають як суму всіх членів
сукупності, поділену на їх загальне число:
x
x x ... x
1
x
n
1
2
3
n
n
n i 1 x1
n
У цій формулі xi — значення варіант;
— знак підсумовування варіант
i 1
в межах від першої (xi) до n-ї варіанти; n — загальне число варіант, або
об'єм даної сукупності.

4. Середня арифметична

х
Коли окремі варіанти повторюються, середню арифметичну обчислюють
по формулі
k
1
x xi f i
n i 1
і називають зваженою середньою, причому вагами, як це показує дана
формула, є частоти варіант fi.
При об'єднанні групових середніх їх частотами будуть об'єми груп ni ,
за якими ці середні обраховані. Загальну (зважену) середню
арифметичну декількох однорідних груп визначають по формулі
x1n1 x2 n2 x3 n3 ... xk nk ( xi ni )
x
n1 n2 n3 ... nk
ni

5. Визначення зваженої середньої арифметичної

Приклад 1. Вміст гемоглобіну в крові, узятій у дорослих чоловіків (n1=30),
виявився рівним в середньому 69,8%. Той же показник для іншої групи
чоловіків того ж віку (n2=20) склав 64,9%. Потрібно визначити середню
арифметичну з цих двох середніх. Якби вибірки були рівновеликими, задача
розв'язувалася б просто: шляхом розподілу суми часткових середніх на їх
число, тобто x = (69,8+64,9):2=67,35=67,4%. При різних об'ємах вибірок такий
розрахунок виявляється неточним, оскільки не враховується вага часткових
середніх.
Зважена середня буде дорівнювати
30 69,8 20 64,9
x
67,84 67,8%
30 20

6. Середня квадратична

x q
Для точнішої числової характеристики мір площі застосовується середня
квадратична. Цей показник обчислюють по формулах
x
x
q
2
i
або при повторюваності окремих варіант
n
xq
2
f
x
ii
n
Приклад 5. Вимірювали площу гніздових територій зяблика в десяти
навмання відібраних пташиних пар. Результати вимірювань розподілилися
таким чином:
Площа гніздових територій, м2
50 95 130 175 200 220
Число випадків f i ……………
1
1
2
3
2
1
Визначимо середній розмір цієї ознаки. Заздалегідь знаходимо
2
(
f
x
i i ) = 1*502+1*952+2*1302+3*1752+2*2002+1*2202=265600.
Звідси xq= 265600/10=163,0 м2.
Середня арифметична в таких випадках опиняється менше середньої
квадратичної:
х =(1*50 + 1*95 + 2*130 + 3*175 + 2*200 + 1*220)/10=1550/10= 155 м2.

7. Середня кубічна

x Q
Як характеристика об'ємних ознак точнішої є середня кубічна, яка
визначається по формулах
xQ
3
x
3 i
або при повторюваності окремих варіант
n
xQ
3
(
f
x
i i )
3
n
Приклад 6. Вимірювали об'єм навмання відібраних 18 курячих яєць
(враховували напівсуму великого і малого діаметру). Результати вимірювань
виявилися наступними:
Об’єм яєць хі см ...... 4,7
Число випадків fі ....... 2
4,8
4
5,0
6
5,4
3
5,6
2
6,0
1
Визначимо середній об'єм яєць по їх діаметрах. Заздалегідь обчислимо
3
f
x
i i =2(4,7)3 + 4(4,8)3+6(5,0)3+3(5,4)3+2(5,6)3+ 1(6,0)3=2419,638.
Звідси
xQ = 3 2419,638 / 18 3 134,42 5,12 см3.