Основні характеристики варіюючих об'єктів структурні середні та методи їх обчислення

1. ОСНОВНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРІЮЮЧИХ ОБ'ЄКТІВ СТРУКТУРНІ СЕРЕДНІ ТА МЕТОДИ ЇХ ОБЧИСЛЕННЯ

План
1.
2.
3.
4.
5.
Ліміти та розмах варіації.
Дисперсія
Середнє квадратичне відхилення
Коефіцієнт варіації
Нормоване відхилення

2. Статистичні характеристики варіюючих показників

Варіаційні ряди і їх графіки дають наочне уявлення про варіювання
ознак, але вони недостатні для повного опису варіюючих об'єктів.
Для цього існують особливі, логічно і теоретично обґрунтовані
числові показники - статистичні характеристики. До них
відносяться середні величини і показники варіації.
На відміну від індивідуальних числових характеристик середні
величини
характеризуються
більшою
стійкістю,
здатністю
відображати цілу групу однорідних одиниць одним (середнім)
числом.
Середні величини прийнято позначати тими ж прописними буквами
латинського алфавіту, що й варіанти, з тією лише різницею, що над
буквою, відповідній середній величині, ставлять межу. Так, якщо
ознака позначена через X, то його числові значення виражають
буквою xi, середню арифметичну — х , середню гармонійну xh і т. д.
При обчисленні середніх величин та інших статистичних
характеристик не обов'язково розподіляти початкові дані у
варіаційний ряд.

3. Ліміти та розмах варіації

Разом з середніми для характеристики варіюючих ознак
використовують і показники варіації. Одним з таких
показників є ліміти (від лат. limes — межа), що
позначаються символом lim. У біометрії під цим
терміном розуміють значення мінімальної min і
максимальної max варіант сукупності.
Розмах варіації – це показник, який є різницею між
максимальною та мінімальною варіантами сукупності,
тобто R = xmax - xmin.
Чим сильніше варіює ознака, тим більше розмах
варіації, і, навпаки, чим менше варіація ознаки, тим
менше буде розмах варіації.

4. Дисперсія S2

Показник, побудований на квадратах відхилень
варіант від їх середніх називають дисперсією (від
лат. dispersio — розсіювання) і виражають
формулами:
k
S
2
x
(x x)
i
i
k
2
або
S x2
f (x x)
i
2
i
i
n
n
де - знак підсумовування похідних відхилень варіант xi
k
i
від їх середньої x на вагу або частоти fі цих відхилень в
межах від першого до k-го класу; n — загальне число
спостережень. Індекс x в символі дисперсії означає, що
цей показник характеризує варіювання числових значень
ознаки навколо їх середньої величини.

5. Поправка Бесселя

Разом з тим встановлено, що дисперсія, що розраховується
по вище вказаній формулі, виявляється зміщеною по
відношенню до свого генерального параметра на величину,
рівну n/(n-1). Щоб одержати незміщену дисперсію, потрібно
у формулу ввести як множник поправку на зміщення, яка
називається поправкою Бесселя. В результаті формула
перетвориться таким чином:
k
S
2
x
f (x x)
i 1
i
i
n
2
k
f (x x)
i
i
n
i 1
n 1
n 1
2

6. Число ступенів свободи

• Різницю n - 1, що позначається надалі прописною буквою латинського
алфавіту k, називають числом ступенів свободи, під яким розуміють
число вільно варіюючих одиниць у складі чисельно обмеженої
статистичної сукупності.
• Так, якщо сукупність складається з n-го числа членів і
характеризується середньою величиною х, то будь-який член цієї
сукупності може мати будь яке значення, не змінюючи при цьому
середню х, окрім однієї варіанти, значення якої визначається
різницею між сумою значень всіх інших варіант та величиною nx .
Отже, одна варіанта чисельно обмеженої статистичної сукупності не
має свободи варіації. Звідси число ступенів свободи для такої
сукупності буде рівне її об'єму n без одиниці, тобто k = n -1.
• А за наявності не одного, а декількох обмежень свободи варіації
число ступенів свободи варіації буде рівне k = n -v, де v (грецька
буква ню) позначає число обмежень свободи варіації.

7. Середнє квадратичне відхилення sx.

Середнє квадратичне відхилення — це показник, що представляє
корінь квадратний з дисперсії:
Sx
2
(
x
x
)
i
n 1
Ця
величина
у
ряді
випадків
виявляється
зручнішою
характеристикою варіювання, ніж дисперсія, оскільки виражається в
тих же одиницях, що і середня арифметична величина.

8.

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення найкращим чином
характеризують не лише величину, але й специфіку варіювання ознак.
Щоб переконатися в цьому, повернемося до розглянутих вище рядів
розподілу, у яких однаковий розмах варіації і однакові середні
показники, але різний характер варіювання, і обчислимо для них
дисперсію і середнє квадратичне відхилення:
xi
10
15
20
25
30
35
40
45
50
( хі х )
– 20
– 15
– 10
–5
0
+5
+10
+15
+20
( хі х ) 2
400
225
100
25
0
25
100
225
400
( х х ) 1500
2
і
Звідси
S x2 = 1500/(9—1)= 187,5 та
S x 187,5 13,7
хі = 30

9.

xi
10
28
28
30
30
30
32
32
50
( хі х )
– 20
–2
–2
–0
0
0
+2
+2
+20
( хі х ) 2
400
4
4
0
0
0
4
4
400
х і = 30
( х х ) 816
2
і
Звідси
S x2 = 816/(9-1)= 102 та S x 102 10,1
З приведених обчислень видно, що при однакових лімітах і розмаху
варіації дисперсія і середнє квадратичне відхилення виявилися
неоднаковими: на величині цих показників позначився різний
характер варіювання ознак.

10. Коефіцієнт варіації V, Cv

Одним з відносних показників варіації є коефіцієнт варіації. Цей
показник є середнім квадратичним відхиленням, виражений у відсотках
від величини середньої арифметичної:
Sx
Cv
100%
X
Приклад. Порівнюють дві варіюючі ознаки. Одна характеризується
середньою х1 =2,4 кг і середнім квадратичним відхиленням s1 = 0,58 кг, інша
— величинами х 2 = 8,3 см і s2 =1,57 см. Чи слідує звідси, що друга ознака
варіює сильніше, ніж перший? Ні, не слідує, оскільки середнє квадратичне
відхилення визначають по відхиленнях від середніх, а вони різні по величині.
Крім того, не цілком коректно порівнювати величини, виражені різними
одиницями міри.
Саме тому в подібних випадках доречно використовувати безрозмірні
значення коефіцієнтів варіації. Порівнюючи їх в прикладі, що наводиться,
знаходимо, що сильніше варіює не друга, а перша ознака:
Cv1=100(0,58/2,4)=24,2% Cv2=100(1,57/8,3)=18,9%

11.

• Різні ознаки характеризуються різними
коефіцієнтами варіації. Але відносно однієї і
тієї ж ознаки значення цього показника Cv
залишається більш менш стійким і при
симетричних розподілах звичайно не
перевищує 50%. При сильно асиметричних
рядах розподілу коефіцієнт варіації може
досягати 100% і навіть вище.
• Варіювання вважається слабким, якщо не
перевершує 10%, середнім, коли Cv складає
11—25%, і значним, коли Cv перевищує 25%.

12. Нормоване відхилення t

Відхилення тієї або іншої варіанти від середньої арифметичної,
віднесене до величини середнього квадратичного відхилення, називають
нормованим відхиленням:
(x x)
t
i
sx
Цей показник дозволяє «вимірювати» відхилення окремих варіант від
середнього рівня і порівнювати їх для різних ознак.
Приклад. При обстеженні групи підлітків у віці від 15 до 16 років
встановлено, що середній зріст хлопців характеризується наступними
показниками: х = 164,8 см і sx= 5,8 см. У групі опинився хлопець, зріст якого
дорівнює 172,4 см. Питається: на скільки значним є відхилення зросту цього
хлопця від середньої величини даної ознаки в цій групі?
Нормуючи зріст хлопця ( хi 172,4) , знаходимо t
172,4 164,8
1,31
5,8
Набуваючи значення нормованих відхилень для різних ознак, можна
порівняти місця, займані особиною, індивідом і т.п. по кожній з цих ознак в їх
розподілах.

13.

Хай, наприклад, нормоване відхилення у того хлопця, що розглядається, по
ширині плечей дорівнює — 0,41. Тоді можна стверджувати що у нього довжина
тіла відхиляється від середньої у бік більших величин цієї ознаки, а ширина
плечей — у бік менших, тобто характерний високий вузькоплечий тип статури.
Нормоване відхилення використовують також при роботі з так званим
нормальним розподілом.