Электростатическое поле. Тема 3.1. Электростатическая теорема Гаусса для поля в вакууме

1.

Электростатическое поле
3. Электростатическая теорема Гаусса
3.1. Электростатическая теорема Гаусса
для поля в вакууме

2.

Поток векторного поля
Гидродинамическая аналогия:
dl
S
dl
S
dV dl S dt S
dV
S
dt
dV dl S cos( , S ) S dt
dV
S
dt
Физико-технический факультет
2

3.

Поток векторного поля
Для электростатического поля:
dФe E dS cos( E, dS ) E dS
E
S
dS
Фe E dS Фe E dS [Фe ] В м
S
S
Поток вектора напряжённости электростатического
поля через поверхность пропорционален числу
силовых линий, которые пересекают эту поверхность
Физико-технический факультет
3

4.

Дивергенция векторного поля
E dS
Определение:
объёмная плотность потока
div E lim S
V
V 0
В
[div E ] 2
м
Единицы измерения:
Теорема Остроградского:
E dS div E dV
S
Физико-технический факультет
V
4

5.

Дивергенция векторного поля
Физический смысл:
расходимость вектора,
указывает на наличие
источников и стоков
поля
E
div E 0
E
div E 0
E
объёмная плотность
потока
div E 0
Физико-технический факультет
5

6.

Электростатическая теорема Гаусса
Заряд внутри замкнутой поверхности:
dS n
E
q r
S
E ke 2
r
r r
dS
q r
d
+
dФe k e 2 dS
q
r r
dS n
q
dФe k e 2 dS cos( r ,dS ) k e q 2 k e q d
r
r
4
Фe ke q d 4 ke q
0
Поток не зависит от
положения заряда
внутри поверхности
Физико-технический факультет
6

7.

Электростатическая теорема Гаусса
Заряд за пределами замкнутой поверхности:
dS1
q
+
S
E1
d
E2
dS 2
cos ( E1 , dS1 ) 0
cos ( E 2 , dS 2 ) 0
d 1 d 2 d
dФe1 dФe 2
dФe dФe1 dФe 2 0
Поток всегда равен
нулю, если заряд вне
поверхности
Физико-технический факультет
7

8.

Электростатическая
теорема Гаусса
Система заряженных тел:
в соответствии с принципом суперпозиции
электростатических полей потоки напряжённости полей,
создаваемых каждым заряженным телом или частицей в
отдельности, следует алгебраически сложить;
при этом следует учесть, что поток создают только поля
тех заряженных тел или частиц, которые находятся
внутри замкнутой поверхности
Физико-технический факультет
8

9.

Электростатическая теорема Гаусса
Формулировка:
Поток вектора напряжённости электростатического поля
через замкнутую поверхность произвольной формы
пропорционален алгебраической сумме электрических
зарядов тел и частиц, которые находятся внутри этой
поверхности
Интегральная форма теоремы: Фe E dS 4 ke qi
S
Физико-технический факультет
i
9

10.

Электростатическая теорема Гаусса
Интегральная форма записи теоремы для объёмного
электрического заряда:
Фe E dS 4 ke dV
S
Теорема Остроградского:
V
E dS div E dV
S
V
Дифференциальная (локальная форма записи):
div E 4 ke
Физико-технический факультет
10

11.

Электростатическая теорема Гаусса
Физическое содержание теоремы:
закон Кулона, поскольку является его прямым
математическим следствием;
полевая трактовка закона Кулона на основе концепции
близкодействия электростатических взаимодействий;
принцип суперпозиции электростатических полей
Физико-технический факультет
11

12.

Электростатическая теорема Гаусса
Физический смысл теоремы:
дифференциальная форма записи теоремы указывает на
заряженные тела и частицы как на источники
электростатических полей;
положительные электрические заряды как на источники
силовых линий поля, а отрицательные – как на стоки
силовых линий поля
Физико-технический факультет
12