Линейная алгебра. Матрицы. Основные понятия. Виды матриц. Определитель матрицы. Действия над матрицами

1. Линейная алгебра

Матрицы. Основные понятия
Виды матриц
Определитель матрицы
Действия над матрицами

2. Матрицы. Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная
из каких – либо элементов и имеющая m строк и n столбцов.
Элементами матрицы могут быть числа, алгебраические
выражения, функции и т.д.
a11
a 21
A
a
m1
a12 ... a1n
a 22 ... a 2n
am 2 ... amn
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита,
элементы матрицы – теми же маленькими буквами.
Размерность матрицы обозначается:
dim A m n
количество
количество
строк столбцов

3. Виды матриц

Если m n , то матрица называется прямоугольной.
Если m n
порядка).
, то матрица называется
квадратной (n - ного
Любое число (скаляр) можно представить как матрицу первого
порядка, размерностью 1 1 .
Матрица типа 1 n называется матрица-строка:
a a
11
12
a13 ... a1n
Матрица типа m 1 называется матрица-столбец:
a11
a 21
...
a
m1

4. Виды матриц

Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы,
расположенные на главной диагонали, равны единице,
остальные – нулю (обозначается буквой Е):
1 0 0
E 0 1 0
0 0 1
Если все элементы квадратной матрицы равны нулю, то она
называется нуль-матрицей и обозначается символом 0.
0 0 0
O 0 0 0
0 0 0

5. Определитель матрицы

Для каждой квадратной матрицы n - ного порядка существует
определитель n - ного порядка, элементы которого равны
соответствующим элементам матрицы.
a11 a12
A a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
a11 a12
det A a21 a 22
a31 a32
a13
a 23
a33
Определитель любой единичной матрицы равен единице.
Если определитель матрицы равен нулю, то
называется вырожденной, в противном случае
невырожденная.
матрица
матрица

6. Действия над матрицами

Равенство матриц
Матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и их
соответствующие элементы равны.
A B
dim A dimB;
aij bij
Сложение (вычитание) матриц
Сумма и разность матриц существуют только для матриц
одинакового размера, при этом соответствующие элементы
матриц складываются или вычитаются.
C A B
dim A dimB dim C
c ij aij bij

7. Действия над матрицами

Умножение матрицы на число
При умножении матрицы A на число k получается матрица того же
размера, при этом каждый элемент матрицы A умножается на k.
B k A
dim A dimB; bij aij k
Найти значение выражения: C A 5 B
1 3 2
A
0 1 4
2 4 1
B
5 0 2
3 5 ( 4) 2 5 1 11 17 7
1 5 2
C
0 5 ( 5) 1 5 0 4 5 2 25 1 14

8. Действия над матрицами

Умножение матриц
Произведение матриц A * B определено только тогда, когда
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, в
противном случае произведение не существует.
dim A m n
dim B n k
C A B существует
dimC m k
Произведением матрицы A размера [m n] с элементами aij
на матрицу B размера [n k ] с элементами bjq называется
матрица C размера [m k ] с элементами:
n
c iq aij b jq
j 1

9. Действия над матрицами

1 0 2
A
3 1 4
0 5 1
B 2 1 1
3 2 0
0 5 1
B 2 1 1
3 2 0
1 0 2
A
3 1 4
6 9 1
14 24 4
Найти С = A * B
dim A 2 3
dim B 3 3
c12 1 5 0 1 2 2
c11 1 0 0 2 2 3
c13 1 1 0 1 2 0
6 9 1
C
14 24 4
cc22 33 5 1 11 1
44 20
1
c 21 3 023 1 2 4 3

10. Действия над матрицами

Свойства операции произведения матриц:
2) AB A B ;
3) A B C AC BC ;
1) A BC AB C ;
4) В общем случае для произведения матриц не действует
переместительный закон: A B B A
иногда АВ существует, а ВА не имеет смысла. В случае, когда
АВ = ВА, матрицы А и В называются коммутативными.
5) Единичная матрица является коммутативной для любой
квадратной матрицы того же порядка:
EA AE A
6) Для двух квадратных матриц А и В одного порядка произведение
определителей равно определителю произведения .
det A det B det AB