Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 1. Элементы комбинаторики

1.

Теория вероятностей и
математическая статистика
Доц.Лаптева Надежда Александровна
Лекция 1
§1. Элементы комбинаторики.
Комбинаторика изучает число
комбинаций из предметов.
1. Перестановки Pn n ! - важен
только порядок.
Пример. Сколькими способами можно
расставить 5 различных книг на полке?
5 4 3 2 1 5!

2.

2. Размещения
n!
A
(n m)!
m
n
-- важен порядок.
Пример. Всего 10 цифр. Сколькими
способами можно составить
трехзначный номер?
10! 7! 8 9 10
A
8 9 10 720
7!
7!
3
10

3.

3.Сочетания
n!
C
m!( n m)!
m
n
Разные предметы, порядок не важен.
Пример. В группе 20 человек.
Сколькими способами можно выбрать
трех делегатов на конференцию?
20! 17! 18 19 20
C
1140
3!17!
1 2 3 17!
3
20

4.

4.Размещения с повторениями.
Все важно – и порядок, и предметы,
причем их можно повторять.
m
n
A n
m

5.

2. Случайные события.
Определение 1. Событие называется
случайным, если оно может произойти,
а может не произойти. Обозначение
событий -- A, B, C ,...
Пример 1. Бросаем монету. Событие
«выпадет герб» является случайным.
Пример 2. Бросаем кубик. Цифры
1,2,3,4,5,6 – случайны.

6.

Кубик будем называть игральной костью.
Испытание – это создание условий для
возможного события. Например, бросить
кость, бросить монету и т.д.
Определение 2. Два события называются
несовместными, если они не могут
произойти вместе.
Пример. Бросаем монету. Герб или цифра
--- несовместные события.

7.

Определение 3. Пусть задана система
из нескольких случайных событий. И
пусть все они попарно несовместны.
Пусть при испытании обязано
появиться одно и только одно из них.
Тогда говорят, что задана полная
группа событий.

8.

Пример 1. Герб и цифра --- полная
группа при бросании монеты.
Пример 2. Кубик с шестью гранями
состоит из шести цифр, то есть на
каждой грани написана одна цифра.
Эти цифры --- полная группа событий.

9.

Определение 4. Пусть задана полная
группа из n событий A, B,..., M .
И пусть ни одному из них не отдается
предпочтения.
Тогда события называют
равновозможными и каждому
приписывают его долю как вероятность
1
p .
n

10.

События из полной группы
несовместных событий часто называют
элементарными.
Из элементарных событий составляют
более сложные события --- составные.

11.

Если событие A состоит из
нескольких элементарных, то
составляющие его элементарные
события называют благоприятными.
Их число обозначим m.
Общее число всех элементарных
событий в полной группе
равновозможных событий обозначим n.

12.

Классическое определение вероятности.
Пусть имеется полная группа
равновозможных несовместных
событий. Их число n. И пусть
случайное событие A состоит из m
элементарных событий.
m
Тогда P ( A ) .
n

13.

1.Всегда
Частные случаи
0 P ( A ) 1.
2. Событие называется невозможным,
если оно не может произойти. Тогда
m 0
P (0) 0.
n n
(m( A) 0, так как ни одно из
событий ему не благоприятствует).
Следствие 1. Вероятность невозможного
события равна нулю.

14.

3. Достоверное событие E --- всегда
происходит. Ему благоприятствуют все
элементарные события, то есть
m( E ) n.
Тогда P ( E ) 1.
Следствие 2. Вероятность достоверного
события равна единице.

15.

Следствие 3. Вероятность любого
случайного события заключена между
нулем и единицей:
0 P ( A ) 1.

16.

A
Доказательство. Если
--- случайное
событие из m элементарных
событий, то число m n --- общего
их числа, поэтому
m
P ( A ) 1.
n
Это положительное число, поэтому
m
P ( A ) 0.
n

17.

Примеры непосредственного
вычисления вероятностей случайных
событий.
Формула
m
P(A) .
n

18.

Пример 1. Брошена игральная кость.
Какова вероятность выпадения простого
числа?
Перечислим все простые числа от 1 до 6.
Это 1,2,3,5.
4 2
m( A) 4, n 6, P ( A ) .
6 3

19.

Пример 2. Брошен кубик два раза
подряд. Какова вероятность, что оба
раза выпадут четные числа?
Событие A --- выпали четные числа.
2,4,6 --- оба раза.
n 6 6 36 событий. На каждую
цифру №1 есть 6 возможностей
цифры №2.

20.

Правило умножения.
Если комбинация A состоит из k
вариантов, каждый вариант состоит из
l других вариантов B, то пара ( A, B )
состоит из k l вариантов.

21.

Вычислим m( A) , то есть перечислим
пары
2,2
2,4
2,6
4,2
4,4
4,6
6,2
6,4
6,6
m 9.
9 1
P(A ) .
36 4

22.

Лекция №2
Геометрическая вероятность
На прошлой лекции было введено
классическое определение
вероятности. Еще в начале развития
теории вероятностей была замечена
недостаточность этого определения,
так как оно предполагает конечное
число исходов. Легко придумать
пример с бесконечным числом
исходов.

23.

Например, попадание иглы в точку
отрезка. Подобные задачи приводят к
понятию геометрической вероятности.
Задача. В так называемый “квадрат
рассеяния” со стороной 60 метров
падают снаряды. Считаем, что
попадание во все точки квадрата
равновероятно. В квадрате находится
мост размером 30 метров на 20 метров.
Какова вероятность попасть в мост?

24.

S2
60
20
S1
30

25.

Здесь
S2
S1 -- площадь моста, а
-- площадь квадрата.
Решение: мост занимает полосу
1
шириной
от стороны квадрата и
3
1
длиной
от стороны квадрата.
2

26.

Таких полос на квадрате находится 6.
Считаем, что попадание в каждую такую
полосу равновероятно и равно
S1
P(A) .
S2

27.

Определение. Пусть даны два
множества A K .
Считаем, что всегда попадаем в
множество K . Тогда вероятность
попасть в множество A равна
SA
P(A) .
SK

28.

mes A
Обобщение: P ( A )
.
mes K
K a, b ;
A [ , ];
P(A)
.
b a

29.

Такая вероятность называется
геометрической вероятностью и
приписывается множеству любой
размерности.
Замечание. Каждая область
состоит из точек. Пусть A
-точка. Какова вероятность
попасть в точку P ( A )?
Так как любая мера точки есть
нуль, то
P ( A ) 0.

30.

Такие события называются
невозможными.
Итак, бросая иглу, мы попадем в точку,
но вероятность попадания в точку есть
нуль, то есть событие невозможное.
Приведенное противоречие – один из
примеров «парадоксов бесконечности».

31.

Пример. В круге радиуса R наудачу
появляется точка.
Определить вероятность того, что она
попадает в одну из двух
непересекающихся фигур, площади
которых равны S , S .
1
2
S1 S2
P(A )
.
2
R

32.

Задача о встрече.
Два лица условились встретиться в
определенном месте между 12 и 13
часами. Пришедший первым ждет
другого в течение 20 минут, после чего
уходит. Чему равна вероятность
встречи лиц A и B ?
Если приход каждого из них может
произойти наудачу и моменты прихода
независимы.

33.

Решение. Обозначим моменты
прихода лица A через x
и лица B через y.
Для того, чтобы встреча произошла,
необходимо, чтобы
x y 20.

34.

Станем изображать x , y как
координаты на плоскости, в качестве
единицы масштаба выберем минуту.
y
20
0
20
60 x

35.

Благоприятные исходы расположены
в заштрихованной области.
2
2
2
2
S 60 40 ;
60 40
5
P(A )
.
2
60
9

36.

Операции над
случайными событиями
Геометрическое определение
вероятности дает возможность
привлечь множества и операции над
ними, именно, объединение и
пересечение.

37.

Напомню:
A B C
A
A B D
B

38.

Определение 1. Пусть A, B K .
Суммой случайных событий A B
называется третье событие C ,
состоящее в наступлении хотя бы
одного из первых двух событий.
Определение 2.
Произведением случайных
событий A B называется третье
событие D , состоящее в
наступлении как события A, так и B.

39.

Лекция №3
Операции над случайными событиями
1. Формула сложения вероятностей
Рассмотрим площадь S ( A B ).
S ( A B ) S ( A) S ( B ) S ( AB ).
A
B

40.

Разделим обе части на площадь K .
mes(
A
B
)
Тогда, так как P ( A B )
,
получаем
mes K
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB ).
Это формула сложения вероятностей.
Если AB , то P ( AB ) 0,
то есть
P ( A B ) P ( A ) P ( B ).

41.

Определение. Для несовместных
событий формула сложения
вероятностей принимает вид
P ( A B ) P ( A ) P ( B ).
Следствие. Введем событие A,
противоположное событию A.
Тогда A A D, где
D -- достоверное событие.
Следовательно,
P ( A A) P ( A ) P ( A ) 1.
P ( A ) 1 P ( A ).

42.

Пример. Стрелок производит
выстрел по мишени, состоящей из
двух колец: 10 и 9. Вероятность
попадания в 10 равна P ( A ) 0,1.
Вероятность попадания в 9 равна
P ( B ) 0,2.
Какова вероятность попасть в
мишень?
P ( A B ) 0,1 0,2 0,3.

43.

2. Условная вероятность.
PB ( A ) означает вероятность
события A при условии, что событие B
произошло.
Пример. Брошены две игральные
кости. Чему равна вероятность, что
сумма выпавших очков равна 8
(событие A ), если известно, что
выпадает четное число (событие B )?

44.

Рассмотрим все благоприятные исходы
2+6
6+2
4+4 3+5 5+3
Всего исходов 36. Благоприятных
исходов 5. Но если произошло
событие B, то всех исходов будет
не 36, а 18.
Таким образом,
5
PB ( A ) .
18

45.

Для условной вероятности
P ( AB )
PB ( A )
P( B)
или
P ( AB ) PB ( A ) P ( B ).
Если события A и B независимы,
то
PB ( A ) P ( A ).
Тогда
P ( AB ) P ( A ) P ( B ).

46.

Пример. Два стрелка независимо друг
от друга стреляют по цели.
Вероятность попадания для первого
p1 0,8; для второго p2 0,7.
Найти вероятности следующих
событий.
А) оба стрелка попадут в цель.
P ( A ) p1 p2 0,8 0,7 0,56.

47.

В) только один попадет в цель.
Это значит, что первый попадает и
второй не попадает или наоборот, то
есть второй попадает и первый не
попадает. В этом случае
P ( B ) p1 (1 p2 ) p2 (1 p1 );
P ( B ) 0,38.

48.

С) Хотя бы один попал в цель.
Рассмотрим противоположное
событие: оба не попали в цель.
P (C ) (1 p1 )(1 p2 );
P (C ) 0,2 0,3 0,06;
P (C ) 1 P (C ) 0,94.

49.

3. Формула полной вероятности
Пусть даны два события A
и B,
причем B является суммой новых
событий:
Тогда
B H1 H 2 ... H n .
AB AH1 ... AH n .

50.

Предполагается, что события
H1 , H 2 ,..., H n
несовместны.
Тогда события AH1 ,..., AH n также
несовместны, как части несовместных
событий.
Тогда
P ( AB ) P ( AH1 ) ... P ( AH n );
n
P ( AB ) PH k ( A ) P ( H k ).
k 1

51.

Так как P ( AB ) P ( A ), то
получаем формулу, которая называется
формулой полной вероятности
n
P ( A ) PH k ( A ) P ( H k ).
k 1
H1, ..., H n называются гипотезами.
Гипотез должно быть столько, чтобы
они обеспечили все возможные
результаты испытаний.

52.

Пример. В группе спортсменов
5 лыжников,
6 велосипедистов и
4 бегуна.
Вероятность выполнить
квалификационную норму:
для лыжника – 0,9;
для велосипедиста – 0,8;
для бегуна – 0,75.
Найти вероятность, что спортсмен,
выбранный наудачу, выполнит норму.

53.

Введем событие
A --- спортсмен выполнит норму.
Гипотезы:
H1 --- лыжник,
H 2 --- велосипедист,
H 3 --- бегун.

54.

5
P ( H1 ) ;
15
6
P( H 2 ) ;
15
4
P( H 3 ) .
15
PH1 ( A ) 0,9; PH 2 ( A ) 0,8;
PH3 ( A ) 0,75.

55.

P ( A ) PH1 ( A ) P ( H1 )
PH 2 ( A ) P ( H 2 ) PH 3 ( A ) P ( H 3 );
P ( A ) 0,82.

56.

4. Повторные испытания.
Формула Бернулли
Пусть дано случайное событие A
P ( A ) p.
с
известной
вероятностью
Введем
событие
A, P ( A ) q,
причем q 1 p.
Пусть имеется только одно событие A.
Но из него можно сделать
сколько угодно событий путем
повторения.

57.

Например, стреляя в одну мишень,
можем получить
A A A (попал, не попал, попал).
Получилось новое событие, которое
называется повторным испытанием.
2
P ( A A A) p q.

58.

Обобщим приведенный пример,
произведя n испытаний.
При этом будем считать, что событие A
наступило
раз.
k
Например,
B1 A... AA... A,
k
P ( B1 ) p q
n k
.

59.

Однако, событие A может появляться
и в другой последовательности
B2 AA... AA... AAA,
а может и в другой.
Всего получается C
k
комбинаций.
n

60.

Теорема. Вероятность того, что в
серии из n испытаний событие
A появится k раз, вычисляется
по формуле Бернулли
k
n
k
Pn ( k ) C p q
n k
, q 1 p.

61.

Вероятность того, что событие A
произойдет не менее k раз в серии
из n опытов, вычисляется по формуле
n
Pn ( k ) C p q
m k
m
n
m
n m
.

62.

Пример. Какова вероятность, что в семье,
имеющей 5 детей, будут 2 мальчика?
Вероятности рождения детей считать
одинаковыми.
1
1
p , q ; n 5, k 2.
2
2
10 5
2
2
3
P5 (2) C5 (0,5) (0,5) .
32 16

63.

Лекция №4
Локальная и интегральная
теоремы Лапласа
На прошлой лекции мы вывели
формулу Бернулли
k
n
k
n k
Pn ( k ) C p q .
Если числа n и k
велики, то
вычисления становятся громоздкими.
В этом случае можно воспользоваться
приближенной формулой Лапласа.

64.

Теорема 1 (локальная теорема Лапласа).
1
k np
Pn ( k )
( x ), x
,
npq
npq
x2
где
1
2
( x)
e .
2
Замечание. Формула Лапласа тем
точнее приближает формулу Бернулли,
чем больше число n (более
нескольких десятков) и np 10.

65.

Теорема 2 (интегральная теорема Лапласа).
Вероятность Pn ( k1 , k 2 )
того, что
событие A наступит от k1 до k 2 раз в
серии из n одинаковых независимых
испытаний приближенно вычисляется по
формуле Лапласа
Pn ( k1 , k2 ) ( x2 ) ( x1 ),

66.

x
t2
2
1
( x )
e
dt
2 0
k1 np
k2 np
x1
; x2
.
npq
npq
( x ) ( x ).
Для
x 5 можно считать ( x ) 0,5.

67.

Пример 1. Вероятность поражения
мишени при одном выстреле равна 0,8.
Найти вероятность того, что при 100
выстрелах мишень будет поражена
ровно 75 раз.
Решение. Воспользуемся локальной
формулой Лапласа
1
k np
Pn ( k )
( x ), x
;
npq
npq

68.

Тогда
n 100; p 0,8;
k 75; q 0,2.
По таблице 1 находим
(1,25) 0,1826.
Следовательно,
P100 (75) 0,04565.

69.

Пример 2. Вероятность поражения мишени
при одном выстреле равна 0,8.
Найдите вероятность того, что при 100
выстрелах мишень будет поражена не
менее 75 и не более 90 раз.
Решение. Воспользуемся интегральной
формулой Лапласа.
k2 np
k1 np
Pn ( k1 , k2 )
,
npq
npq
где ( x ) --- функция Лапласа.

70.

n 100; p 0,8; q 0,2;
k1 75; k2 90.
P100 (75,90) (2,5) ( 1,25)
(2,5) (1,25) 0,8882.
Значения функции ( x ) находим по
таблице 2.
Запомните: ( x ) ( x ).

71.

3.Формула Пуассона.
Пусть p --- вероятность события A
Тогда вероятность
вPкаждом
испытании. события A
n ( k ) наступления
ровно k раз в серии из n испытаний
вычисляется по формуле Пуассона
k
e
Pn ( k )
,
k!
где np.

72.

Замечание. Формула Пуассона тем
точнее, чем меньше p и больше n,
причем np 10.
Пример. Учебник издан тиражом 100000
экземпляров. Вероятность того, что
учебник сброшюрован неправильно,
равна 0,0001. Найти вероятность того,
что тираж содержит ровно 5
бракованных книг.

73.

По условию
n 100000; p 0,0001; k 5.
Так как n велико, а p мало, то
воспользуемся формулой Пуассона
k
e
Pn ( k )
, np 10.
k!
5 10
10 e
P100000 (5)
0,0375.
5!

74.

Самостоятельная работа
Задача №1.
Найти вероятность того, что событие A
наступит 1400 раз в 2400
испытаниях, если появления этого
события в каждом испытании равна
0,6.
Задача №2.AВероятность появления
события
в каждом из 100
независимых испытаний равна 0,8.
Какова вероятность, что событие
появится не более 74 раз?

75.

Лекция №5
Дискретная случайная величина
Определение. Случайная величина X
называется дискретной, если в
результате испытания она принимает
одно из конечного или счетного
множества значений x1 , x2 , x3 , .

76.

Закон распределения или ряд
распределения дискретной случайной
величины задается в виде таблицы
X x1 x2
P p1 p2
p1 p2 1

77.

Многоугольник распределения
В системе координат стоят точки
M i ( xi ; pi ),
i 1, 2, .
где
Соединяют эти точки последовательно
прямыми. Получают ломаную,
которую и называют многоугольником
распределения.

78.

p2
p3
p4
p1
x1
x2 x3
x4

79.

Пример 1. Два стрелка стреляют по цели
по одному разу. Вероятность попадания:
для первого стрелка 0,6;
для второго –
0,7.
Найдите закон распределения и постройте
многоугольник распределения.

80.

Пусть X -- число попаданий.
X -- случайная величина, принимает
значения 0, 1, 2.
Найдем соответствующие вероятности.
Ноль попаданий:
(первый не попал и второй не попал)
P (0) 0, 4 0,3 0,12.

81.

Одно попадание
(первый попал и второй не попал, или
первый не попал и второй попал):
P (1) 0,6 0,3 0, 4 0,7 0, 46.
Два попадания (первый попал и второй
попал): P (2) 0,6 0,7 0, 42.
1
2
X 0
P 0,12 0,46 0,42
0,12 0, 46 0, 42 1.

82.

P
1
Многоугольник распределения
X
P
0
1
2
0,12
0,46
0,42
0, 46
0, 42
0,12
0
1
2 X

83.

Функция распределения
F ( x ) P ( X x )
F ( x) – функция распределения.
F ( x)
Свойства______
1) 0 F ( x ) 1;
F ( ) 0; F ( ) 1.
2) F ( x ) неубывающая функция на
( ; ).
3) P ( a X b ) F (b) F ( a ).

84.

F ( x) определяется формулой
если x x1 ,
0,
p , если x x x ,
1
1
2
F ( x)
p1 p2 , если x2 x x3 ,
если x xn .
1,

85.

График – ступенчатая функция.
P
1
p1 p2 p3
p1 p2
p1
0
x1
x2 x3 xn X

86.

Числовые характеристики дискретной
случайной величины
Задача. Автомат режет гвозди из
проволоки. Всего 100 гвоздей. 50 гвоздей
длиной 10 см; 40 гвоздей – 9 см; 10
гвоздей – 11 см. Найти среднюю длину
гвоздя.
10
50
9
40
11
10
d ср.
100
50
36
11
97
9,7 см.
10
10

87.

А теперь введем случайную величину
X – длина гвоздя. Составим ряд
распределения.
X
P
9
10
11
0,4
0,1
0,5

88.

Определение. Математическим
ожиданием случайной величины X
называется число
M ( X ) x1 p1 x2 p2 xn pn .
Найдем M ( X ) в нашем примере:
M ( X ) 9 0, 4 10 0,1 11 0,5 9,7.
Таким образом
M ( X ) d ср.

89.

Свойства M ( X )
1) M (C ) C
2) M ( kX ) kM ( X ) ( k – константа)
M ( X ) может принимать любое
значение. Например, средняя
температура в Москве в феврале
меньше нуля. Следовательно, M ( X )
может быть и отрицательным, и
равным нулю.

90.

Дисперсия
Пример.
X , Y – случайные величины:
X 2 1 1 2
1
1
1
1
P 4 4
4 4
Y 20 10 10 20
1
1
1
1
P 4 4
4 4

91.

Очевидно, M ( X ) M (Y ) 0. Но
разбросы X , Y от среднего значения
разные.
Для характеристики разброса служит
дисперсия:
D( X ) M X M ( X ) или
2
2
D( X ) M X M ( X ).
2
M X x p1 x p2 x pn .
2
2
1
2
2
2
n

92.

Для нашего примера:
1
2 1
D ( X ) ( 2) ( 1)
4
4
2 1
2 1
2
1 2 0 2,5.
4
4
2 1
2 1
D ( X ) ( 20) ( 10)
4
4
2 1
2 1
2
10 20 0 250.
4
4
2

93.

Таким образом, D (Y ) 100 D ( X ),
а Y 10 X .
Чтобы улучшить характеристику
разброса, вводят среднее квадратичное
отклонение: (сигма)
( X ) D( X ).

94.

Свойства D ( X )
1) D ( X ) 0;
2) D (C ) 0, если
3) D ( kX ) k
постоянная.
2
C – постоянная;
D( X ), если k –

95.

Примеры законов распределения
1) Биномиальный закон
Pn (k ) – вероятность появления
события A ровно k раз в n
испытаниях вычисляется по формуле
Бернулли
k
n
k
Pn (k ) C p (1 p )
n k
.
n!
Напомню, C
(сочетания).
(n k )!k !
k
n

96.

2) Закон Пуассона
Если n велико, а вероятность p
появления события A в каждом
испытании очень мала, то
k
e
Pn (k )
,
k
!
np.
где
Тогда случайная величина X
распределена по закону Пуассона.

97.

28.02.11 Контрольная работа №1
Аудитория
Дома
Стр
7
10
18
20
33
34
№
1,2,3,4
1.3
3,4
2.6
6
8
Рушайло М.Ф.
Стр
199
200
202
217
219
219
219
№
1
2,3
6
5,6
8
1
3
Жукова Г.С.
(часть II)
Стр
10
10
22
37
40
№
1.1
1.5
2.24
3.4
3.26(a)
Рушайло М.Ф.
Стр
205
206
219
222
№
1
13,14
3
19(a)
Жукова Г.С.
(часть II)

98.

1.03.11
Контрольная работа №2
Аудитория
Стр
48
51
52
№
1
2
3
Рушайло М.Ф.
Стр
229
232
234
Дома
№
1
2
3
Жукова Г.С.
(часть II)
Стр
54
54
№
4.1
4.6
Рушайло М.Ф.
Стр
235
236
№
1
6
Жукова Г.С.
(часть II)