Углы с вершинами внутри и вне круга

1.

Углы с вершинами
внутри и вне круга

2.

Рекомендации к решению
задачи
№817
Две окружности имеют единственную общую точку М.
Через эту точку проведены две секущие, пересекающие
одну окружность в точках А и А1 , а другую – в точках В и В1
Докажите, что АА1 || ВВ1
А
В1
О
М
О1
А1
1 случай.
В

3.

1. Через точку М проведите касательную
№817
Р
А
2. Сделайте заключение об углах 1 и 2
1
В1
3
О
2
•М
А1
К
3. Сделайте заключение
об углах 3 и 2
О1
4
В
4. Сделайте заключение
об углах 3 и 4
5. Сделайте заключение об углах 1 и 4
6. Определите вид углов 1 и 4
7. Сделайте заключение о прямых АА1 и ВВ1

4.

2 случай задачи №817
Две окружности имеют единственную общую точку М.
Через эту точку проведены две секущие, пересекающие
одну окружность в точках А и А1 , а другую – в точках В и В1
Докажите, что АА1 || ВВ1
А
В
А1
О О1
В1
•М

5.

Теорема 1
В
К
А
М
С
Угол между двумя
пересекающимися
хордами измеряется
полусуммой
заключенных между
ними дуг
D
L
1
АМВ ( AKB СLD)
2

6.

1
АМВ ( AKB СLD)
В
К
2
Доказательство
А
1
1 СLD
2
+
1
2 АKB
2
1
М
2
С
L
1
1 2 ( СLD AKB)
2
D
АМВ внешний угол СВМ ,
АМВ 1 2
1
АМВ ( СLD AKB)
2

7.

Теорема 2
С
В
Угол между секущими,
проведенными из одной
точки, измеряется
полуразностью заключенных
А
внутри него дуг
D
E
1
А ( СЕ BD )
2

8.

1
А ( СЕ BD )
2
Доказательство
С
В
1
А
–
1
1 СE
2
1
2 BD
2
D
2
E
1
1 2 ( СE BD )
2
1 внешний угол ABE
1 2 A
1
A 1 2 ( СE BD )
2

9.

По данным рисунка 1
найти градусную меру
угла АND
D
По данным рисунка 2 найти
градусную меру дуги BС
D
88°
В
N
А
В
76°
F
А
Рис. 2
С
С
Рис. 1
Угол АFD
АND –– это
это угол,
угол, вершина
вершина которого
которого лежит
лежит внутри
внутри
окружности, тогда он измеряется полусуммой дуг
дугВС
ВСи иАD
АD
1
1
1
АND
АFD
ВС
(AD
BC
(100
AD ) 88 ) ___
2
2
2
1
76 ( х 120 );
х ___;
х 120 _____;
2

10.

По данным рисунка
найти градусную меру
угла АMB
А
По данным рисунка найти
градусную меру дуги ВК
В
С
50°
60°→
С
D
М
D
В
К
Угол ВМК
АMB––это
этоугол,
угол,вершина
вершинакоторого
котороголежит
лежит вне
вне
окружности,
окружности,
тогда он измеряется полуразностью дуг ВК
1
1
тогда
и СD он1измеряется полуразностью
дуг АВ и CD
( )BК
СD
А
( ВМК
СЕ BD
125
) 35 _____
2
2
2
1
х ___;
х 60 _____;
50 ( х 60 );
2
М