Параллелограмм. Прямоугольник

1.

2. Опорные знания

Средней линией треугольника называется отрезок,
соединяющий середины двух его сторон
Средняя линия треугольника параллельна одной из
его сторон и равна половине этой стороны
Параллелограммом называется четырехугольник, у
которого противоположные стороны попарно
параллельны
Прямоугольником называется параллелограмм, у
которого все углы прямые
Диагонали прямоугольника равны и точкой
пересечения делятся пополам
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность
прямой

3. Построение фигуры

Построим произвольный
треугольник
К каждой его стороне проведем
высоту
K, L, M – середины отрезков AH, BH,
CH, лежащих на высотах

4. Эвристическая беседа

Рассмотрим треугольники ABC и HBC
Соединим точки L и M. Что можно
сказать об этом отрезке?
Построим среднюю линию треугольника
ABC. Что можно о ней сказать?
Какие выводы следует сделать?

5. Эвристическая беседа

Рассмотрим треугольники ABH и HAC
Что можно сказать об отрезках C’L и B’M?
Какие выводы можно сделать,
аналогичные предыдущему случаю?
Рассмотрим четырехугольник B’C’LM.
Какими свойствами он обладает?
Что можно сказать о четырехугольниках
A’B’KL и C’A’MK?

6. Эвристическая беседа

Рассмотрим четырехугольники B’C’LM,
A’B’KL и C’A’MK. Что можно сказать об их
диагоналях?
Чем они являются?
Рассмотрим углы ADC, BEC, CFB. Каким
свойством они обладают?

7. Выдвижение гипотезы

Теорема
Рассмотрим следующие точки:
Основания
трех
высот
произвольного
Основания
трех
высот
произвольного
треугольника;
треугольника, середины трех его сторон и
середины
трех
его
отрезков, соединяющих
Середины
трех
его
сторон;
его вершины
с ортоцентром,
лежат все на
Середины
трех его
отрезков, соединяющие
1
одной
окружности
радиуса
его вершины с ортоцентром. 2 R.
Как они связаны между собой?
Сформулируем теорему об этих девяти
точках

8. План

1. C’B’=LM= 1 BC.
2.
2
1
C’L=B’M=
2
AH.
3. B’C’LM – прямоугольник.
4. A’K, B’L, C’M – 3 диаметра окружности.
5. окружность проходит через точки D, E и F.

9. Доказательство

BC – общая сторона ABC, HBC;
C’A= C’B, B’A=B’C, LH=LB, MH=MC.
1
Сл-но, C’B’ II LM II BC, C’B’=LM= 2 BC(по теореме
о средней линии треугольника)
AH - общая сторона BAH, HAC.
1
C’L II B’M II AH, C’L=B’M= 2 AH(по теореме о
средней линии треугольника)
Сл-но, B’C’LM – параллелограмм.
Т.к. BC AH, то B’C’LM – прямоугольник.
Ан-но, A’B’KL , C’A’MK – прямоугольники.

10. Доказательство

A’K = B’L = C’M и делятся точкой N пополам
(свойство диагоналей прямоугольника)
Сл-но, A’K, B’L, C’M – 3 диаметра окружности.
A’DK = 90 (по теореме о вписанном угле,
опирающимся на диаметр окружности)
Сл-но, окружность, построенная на отрезке
A’K, как на диаметре, проходит через точки
D, E и F.

11. Подумай – ка

Какой является окружность
по отношению к данному
треугольнику?

12. Немного из истории

Полученную окружность называют окружностью
девяти точек.
Данная теорема иногда приписывается Эйлеру.
Европейские авторы часто называют эту
окружность «окружностью Эйлера». По теореме
Эйлера центр окружности девяти точек лежит на
прямой Эйлера, точно в середине отрезка между
ортоцентром и центром описанной окружности.
Также полученную окружность называют
«окружностью Фейербаха». Теорема Фейербаха
утверждает, что окружность девяти точек касается
вписанных и всех вневписанных окружностей.

13.

14.

А
K
E
F
H
L
M
В
D
С

15.

А
K
E
C’
B’
F
H
L
M
В
D
С

16.

А
K
E
C’
B’
F
H
L
M
В
D
A’
С

17.

А
K
E
C’
B’
F
H
L
M
В
D
A’
С

18.

А
K
E
C’
B’
F
H
N
L
M
В
D
A’
С

19.

А
K
E
C’
B’
F
H
N
L
M
В
D
A’
С

20.

А
K
E
C’
B’
F
H
N
L
M
В
D
A’
С

21.

А
K
E
C’
B’
F
H
N
L
M
В
D
A’
С

22.

А
K
E
C’
B’
F
H
N
O
L
M
В
D
A’
С