Использование формул приведения для доказательства тождеств и решении уравнений

1. использование формул приведения для доказательства тождеств и решении уравнений

2.

формулы приведения

3.

1. Укажите номера функций, которые можно упростить, используя
формулы приведения
1) sin t
3
2) cos 6 t
3
cos
t
3)
2
3
ctg
t
5)
4
4) tg 2
6) cos t
2. Замените тригонометрической функцией угла t
ctgt
ctg t ______
sin t
cos t 2700 ______
3. Вычислите: tg 4200 tg 3600 600 tg600 3
5
2

4.

4. Докажите тождество:
sin( t ) sin t
3
sin t 2 tg t ctg t
2
2
1
0
0
tg 180 t cos t 360
cos( t ) cos t
применим свойство
четности (нечетности)
тригонометрических
функций
определим знак дроби
и сократим дробь
тождество доказано
cos t
sin t
cos t
sin t ( ctgt ) tgt
1
tgt cos t
sin t ctgt
1
cos t
-
сократим дробь
tgt
3
sin 2 t tg t ctg
t
2
2
1
tg 180 0 t cos 360 0 t
tgt
ctgt
ctgt
sin t
используем формулы
приведения
вспомним, что
ctg ( t ) ctgt
cos t
sin t 1
cos t
sin t
1 1
cos t
1
cos t

5.

Решить уравнение № 26.21 в)
sin x
sin x
1
2 sin x cos x
2
2
используем формулы
приведения
приведем подобные
слагаемые
2 sin x sin x
умножим обе части
уравнения на -1
sin x
1
2
sin x
1
2
решаем простейшее
тригонометрическое
уравнение
записываем ответ
1
2
x
2 n, n Z
1
6
x 5 2 n, n Z
2 6
Ответ:
6
2 n,
5
2 n, n Z
6
( 1)

6.

Решить уравнение № 26.28 а)
используем формулы
приведения
решаем уравнение методом
замены переменной
sin x 2
2 sin 2 x 5 cos x 2 0
2
2
2
2 sin
sin5 sin
x x2 20 0
sinx x 5
пусть sin x t
решаем получившееся
квадратное уравнение
проверяем принадлежность
получившихся корней
отрезку [-1 ; 1]
возвращаемся к переменной x
решаем простейшее
тригонометрическое уравнение
записываем ответ
sin x
t 1;1
2t 2 5t 2 0
t
1
2
t 2
2 1;1
согласно замене
sin x
1
2
x
2 n, n Z
1
6
x 5 2 n, n Z
2
6
5
2 n, n Z
Ответ: 2 n,
6
6

7.

Формулы синуса и косинуса суммы и
разности аргументов

8.

Решить уравнение № 24.21 г)
используем формулу косинуса
суммы аргументов
cos x cos y sin x sin y cos x y
3
cos 5 x cos 7 x sin 5 x sin 7 x
2
cos 5 x 7 x
cos 12 x
решаем простейшее
тригонометрическое уравнение
3
2
3
2
arccos a arccos a
3
2 n, n Z
12 x arccos
2
3
2 n, n Z
12 x arccos
2
12 x 2 n, n Z
6
5
12 x
2 n, n Z
:12
6
записываем ответ
x
5
2 n
,n Z
6 12 12
x
5 n
,n Z
72 6
5 n
,n Z
Ответ:
72 6

9.

Решить уравнение № 24.21 г)
используем формулу синуса
разности аргументов
можно вынести за скобку
общий множитель 2
2
выполним умножение:
2
2 2
4 2
1
2
2
2
2
и раскроем скобки
sin x y sin x cos y cos x sin y
x
3
x
2 sin sin
2
2
4 2
x
x
x
3
2 sin cos cos sin sin
4
2
4
2
2
2
2
x
2
x
x
3
2
cos
sin sin
2 2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
3
cos sin sin
2
2
2
2
cos
решаем простейшее
тригонометрическое уравнение
x
3
2
2
x
3
arccos
2 n, n Z
2
2
x
2
2 n, n Z
2
3
x
записываем ответ
2
x
x
x
3
cos sin sin
2
2
2
2
2
2
4 n, n Z
2
4 n, n Z
Ответ:
3
3