Сумма бесконечной геометрической прогрессии

1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

2.

Рассмотрим бесконечную геометрическую
прогрессию:
b1 , b2 , b3 ,..., bn ,...
Будем последовательно вычислять суммы двух,
трех и т. д. членов прогрессии. Получим:
S1 b1 ;
S2 b1 b2 ;
S3 b1 b2 b3
;
…
Sn b1 b2 b3 ... bn .
Получили последовательность
S1 , S2 , S3 ,..., Sn ,...

3.

Если последовательность
пределу
S
, то число
S
Sn
сходится к
называют
суммой геометрической прогрессии.
! Обратите внимание: называют не суммой n членов
геометрической прогрессии, а суммой геометрической
прогрессии.
Если же эта последовательность расходится, то о сумме
геометрической прогрессии не говорят, хотя о сумме
членов - S n можно, естественно, и в том случае.
n

4.

Если знаменатель
q
геометрической прогрессии
(bn ) удовлетворяет неравенству | q | 1 , то
сумма
прогрессии вычисляется по формуле
b1
S
1 q .
Доказательство.
Как известно ,сумма первых n членов геометрической
прогрессии S n b1 b2 b3 ... bn может быть
n
высчитана по формуле:
b1 (q 1) .
S
n
q 1
b1 .
Как ранее мы установили: lim S n
n
1 q
А так какlim S n мы назвали суммой геометрической
n
b1
.
прогрессии, то формула доказана S
1 q

5. Пример.

Найти сумму геометрической прогрессии:
27, 9, 3, 1, …
Решение.
Имеем:
1
b1 27 ; q .
3
1
1 , то можно
Так как знаменатель прогрессии
3
воспользоваться формулой, доказанной нами только что:
b1
S
1 q
. Значит,
27
27 27 3
S
40.5
1
2
2
1
3 3

6. Практические задания

1. Найдите сумму геометрической прогрессии:
а) 32, 16, 8, 4, 2,...;
2. Вычислите:
а) 125 25 5 1 ...;
8
8
б ) 24, 8, , ,...
3
9
б) 6
2 2
2
...
3 27 243
3. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (bn ),
если:
9
б ) S 1.5, b1 2.
a ) S , b1 3;
4
4. Найдите n член геометрической прогрессии (bn ), если:
1
a ) S 15, q , n 3; б ) S 20, q 16, n 4.
3