Сумма бесконечной геометрической прогрессии

1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Работа учителя математики
Лицея №86
Даниловой С. Д.

2. Геометрическая прогрессия

Определение. Числовая последовательность,
все члены которой отличны от 0 и каждый
член которой начиная со второго получается
из предыдущего члена умножением его на
одно и то же число q, называют
геометрической прогрессией. При этом
число q называют знаменателем
геометрической прогрессии.

3. Формулы геометрической прогрессии

Формула n – го члена геометрической
прогрессии
bn b1q
n 1
Формула суммы n членов геометрической
прогрессии
b1 (q 1)
Sn
q 1
n

4. Рассмотрим последовательность сумм геометрической прогрессии

S1 b1
S 2 b1 b2
S3 b1 b2 b3
S 4 b1 b2 b3 b4
................................
S n b1 b2 b3 ... bn
.......................................

5.

Если последовательность
Sn
сходится к
пределу
, то число
называется
суммой бесконечной геометрической
прогрессии.
Если эта последовательность расходится, то
о сумме бесконечной геометрической
прогрессии не говорят, хотя сумму n – членов
прогрессии можно найти и в этом случае.
S
S

6. Рассмотрим случай, когда знаменатель , геометрической прогрессии удовлетворяет условию

Рассмотрим случай, когда знаменатель
q, геометрической прогрессии
удовлетворяет условию q 1
b1 (q n 1)
1) Вычислим lim
n
q 1
2) Постоянный множитель можно вынести
за знак предела
b1
lim (q n 1)
q 1 n
3)Зная, что lim q n 0 при q 1, получим
n
lim (q n 1) lim q n lim 1 1
n
n
n
b1
b1
b1
n
4) Следовательно
lim (q 1)
n
q 1
q 1 1 q

7.

Таким образом, если знаменатель
q
геометрической прогрессии
удовлетворяет неравенству q 1 , то
сумма прогрессии существует и
вычисляется по формуле
b1
S
1 q

8. Пример 1

Дано : (b n ) - геометрическая прогрессия
8 8
24; - 8; ; ;...
3 9
Найти : S
1) Найдем знаменатель прогрессии q
8
1
q
24
3
1
2) q удовлетворяет условию q 1
3
3) Вычислим по формуле S
b1
24
24 24 3
S
18
1
4
1 q 1
4
3 3