Симметрические многочлены

1.

2.

Познакомиться:
с симметрическими многочленами от двух
и трёх переменных;
со способом нахождения коэффициентов
многочлена
Научиться применять это при решении задач.

3.

Многочлен от x, y называется
симметрическим, если он не изменяется
при замене x на y , а y на x .
Симметрические многочлены u=x + y и
v= x·y называются элементарными
симметрическими многочленами от x и y .

4.

1)
x
2)
2а
3)
4)
2
(x
2
+y
2
2
-3ас+2с
2
2
2
3
+x
)
-3x
x
;
1
2
1 2

5.

Любой симметрический многочлен от
x и y можно единственным образом
представить в виде многочлена от
u=x + y и v= x·y
Всякую степенную сумму sn=xn+yn можно
представить в виде многочлена от u=x + y
и v= x·y

6.

х
х
= (х + у)
2
- 2ху = u
+ у 3 = (х + у)(х
u 3 - 3uv,
2
-ху + у 2) = u (u
2
+у
2
3
х4 + у 4 = (х 2 + у 2)2 - 2х 2у
= u 4 - 4u 2v + 2v 2,
х
2
+ ху + у
2
=u
2
2
2
- 2v,
= (u
- 2v + v = u
2
2
-v
2-
2v – v) =
- 2v)
2
- 2v
2

7.

Назовем многочлен f (x, y,z)
симметрическим от трех переменных, если
при любой перестановке этих переменных
он остается неизменным. В частности,
элементарные симметрические многочлены
от трех переменных x, y и z – это u=x+y+z,
v=xy + xz + yz и h=xyz.
Например:
(x+y)(y+z)(z+x)

8.

n
n-1
Pn(x)=a0x +a1x +…+an-1x+an=
=a0(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn).

9.

Если раскрыть скобки в правой части
равенства на предыдущем слайде и
приравнять коэффициенты при
одинаковых степенях х многочленов
левой и правой его частей, то получим:
*Равенства (1)
x1+x2+x3+…+xn=-a1/a0 ,
x1x2+x1x3+…+xn-1xn=a2/a0 ,
x1x2x3+x1x2x4+…+xn-2xn-1xn=-a3/a0 ,
.............................
x1x2x3…xn=(-1)n*an/a0 .

10.

Равенства (1) называют формулами Виета
(Ф. Виет вывел эти формулы для n<5). При
n=2 имеем знакомые x1+x2=-a1/a0 , x1x2=a2/a0 .
Можно заметить, что многочлены левой части
равенств (1) и есть элементарные
симметрические многочлены.

11.

х 5х 4 0
2
х1 х2 5
х1х2 4
1
1
у1 , у2 корни
х1
х2
нового уравнения
2
х pх q 0
q y1 y2
p ( y1 y2 )

12.

p ( y1 y2 )
q y1 y2
x2 x1
1 1
p ( y1 y2 )
x1x2
x1 x2
5
1
1
p
q
q y1 y2
4
4
x1 x2
5
1
2
2
х х 0
х pх q 0
4
4
4 х 5х 1 0
2

13.

Известно, что х+у=1 и ху=-2. Найти
значение выражения х6+у6.

14.

Глава 3 § 7
№ 337, 334, 340