Симметрические многочлены

1. Симметрические многочлены

Выполнил ученик 10 «А» класса
Волченко Андрей

2. Определение

Симметрический многочлен — многочлен от
n переменных F(x1, x2, ..., xn), не изменяющийся
при всех перестановках входящих в него
переменных.
Основная теорема теории симметрических
многочленов гласит, что любой
симметрический многочлен может быть
представлен единственным образом в виде
многочлена от основных симметрических
многочленов.

3. Примеры

1)
2
(x
2
2
3
1+x 2) -3x 1x2 ;
2) (x+y)(y+z)(z+x)

4. Разложение на множители многочлена Pn(x), имеющего n действительных корней x1, x2, …, xn:

Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=
=a0(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn).

5. Метод неопределенных коэффициентов

Если раскрыть скобки в правой части
равенства на предыдущем слайде и приравнять
коэффициенты при одинаковых степенях х
многочленов левой и правой его частей, то
получим:
*Равенства (1)
x1+x2+x3+…+xn=-a1/a0 ,
x1x2+x1x3+…+xn-1xn=a2/a0 ,
x1x2x3+x1x2x4+…+xn-2xn-1xn=-a3/a0 ,
.............................
x1x2x3…xn=(-1)n*an/a0 .

6. Заключение

Равенства (1) называют формулами Виета
(Ф. Виет вывел эти формулы для n<5). При n=2
имеем знакомые x1+x2=-a1/a0 , x1x2=a2/a0 .
Можно заметить, что многочлены левой части
равенств (1) и есть элементарные
симметрические многочлены.