Многочлены над числовыми полями. Лекция 7

1. АЛГЕБРА 4-й семестр)

2023-24
учебный год

2. МНОГОЧЛЕНЫ НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ

ЛЕКЦИЯ 7

3. § 1. Многочлены над полем комплексных чисел

Основными задачами этого раздела
являются рассмотрение вопросов:
1. Основная теорема алгебры
2. Неприводимость многочленов над полем
комплексных чисел (т.е. в кольце C[x])
3. Число корней произвольного многочлена
с числовыми коэффициентами
4. Теорема Виета
5. Формулы для нахождения корней
уравнений 2, 3 и 4 степени

4. 3. Кубические уравнения

Пусть дано кубическое уравнение:
z3 + az2 + bz + c = 0
(6)
с любыми комплексными коэффициентами a, b и c.
Заменим в уравнении (6) переменную z новой
переменной x, связанной с z равенством:
z = x – a/3,
(7)
Получим уравнение относительно x, не содержащее
квадрата этой переменной:
x3 + px + q = 0
(8)
Найдя корни уравнения (8), мы получим и корни
уравнения (6). Остается, научиться решать уравнение
вида (8) с любыми комплексными коэффициентами p и q.

5. 3. Кубические уравнения

x3 + px + q = 0
(8)
Пусть x0 – любой корень уравнения (8). Введём
вспомогательную переменную y и рассмотрим уравнение:
y2 – x0 y – p / 3 = 0
Его коэффициенты – комплексные числа, и поэтому оно
обладает двумя комплексными корнями u и v, причём (по
формулам Виета):
u + v = x0
(9)
uv=–p/3
(10)
Подставляя в (8) выражение (9) корня x0, получим
(u+v)3+p(u+v)+q=0 или u3+v3+(3uv+p)(u+v)+q=0.
z1 z 2 ... z n c1
Однако из (10) следует 3uv+p=0 и поэтому получаем:
z1 z 2 ... z1 z n ... z n 1 z n c 2
3 + v3 = – q
u
(11)
f(z)=zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn ..........
.................
z z ...z ( 1) n c
n
1 2 n

6. 3. Кубические уравнения

u + v = x0 (9),
u v = – p / 3 (10),
u3 + v3 = – q (11)
С другой стороны, из (10) вытекает:
u3 v3 = – p3 / 27
(12)
Равенства (11) и (12) показывают, что числа u3 и v3 служат
корнями квадратного уравнения:
w2 + qw – p3 / 27 = 0
(13)
с комплексными коэффициентами.
Решая уравнение (13), получим:
q
q2 p3
w
Отсюда:
2
4
2
3
2
3
q
q
p
q
q
p
u 3
, v 3
2
4 27
2
4 27
27
(14)

7. 3. Кубические уравнения

x3 + px + q = 0 (8)
u + v = x0 (9)
u v = – p / 3 (10)
2
3
2
3
q
q
p
q
q
p
u 3
, v 3
2
4 27
2
4 27
Получаем формулу Кардано, выражающую корни
уравнения (8) через его коэффициенты при помощи
квадратных и кубических радикалов:
q
3
x u v
2
(14)
p2 p3 3 q
q2 p3
4
27
2
4 27
(15)
Т.к. кубический радикал имеет в поле С три значения, то
формулы (14) дают три значения для u и три для v. Нельзя
комбинировать любое значение u с любым значением v:
для данного значения u следует брать лишь то из трех
значений v, которое удовлетворяет условию (10).

8. 3. Кубические уравнения

x3 + px + q = 0 (8)
u + v = x0 (9)
u v = – p / 3 (10)
Пусть u1 будет одно из трёх значений радикала u. Тогда
два других u2 и u3 можно получить умножением
соответственно на кубические корни из единицы:
1
3
1
3
e1 i
, e2 i
2
2
2
2
Т.е. u2=u1e1 и u3=u1e2. Обозначим через v1 то значение
радикала v, которое соответствует значению u1
радикала u по (10). Два других значения v,
соответствующие u2 и u3 будут v2=v1e2, v3=v1e1.
В самом деле, ввиду e1e2=1 имеем:
u2v2=u1e1v1e2=u1v1e1e2=u1v1=–p/3, аналогично u3v3=–p/3.

9. 3. Кубические уравнения

x3 + px + q = 0 (8)
u + v = x0 (9)
u v = – p / 3 (10)
u2v2=–p/3, u2v2=–p/3, u3v3=–p/3.
Таким образом, все три корня уравнения (3) могут быть
записаны следующим образом:
x 1 = u1 + v 1
x 2 = u2 + v 2 = u 1e1 + v 1e2
(16)
x 3 = u 3 + v 3 = u 1e 2 + v 1e 1
Замечание. В случае, когда числа u1 и v1 являются
действительными, подставляя в формулу (16) в
выражения для x2 и x3 значения e1 и e2, получим явные
формулы для нахождения x2 и x3 по известным u1 и v1:
x1 u1 v1 ,
u v u v
x 2 1 1 1 1 i,
2
2
u1 v1 u1 v1
x3
i.
2
2
(16´)

10. 3. Кубические уравнения

z = x – a/3 (7)
x3 + px + q = 0 (8)
q
q2 p3
q
q2 p3
3
3
u
, v
2
4 27
2
4 27
(14)
x1 u1 v1 ,
u v u v
x2 1 1 1 1 i ,
2
2
u v u v
x3 1 1 1 1 i.
2
2
(16´)
Пример 3. Решить уравнение z3 + 3z2 – 3z – 14 = 0.
◘ Подстановка (7) z = x – 1 приводит к виду (8):
x3 – 6x – 9 = 0
(здесь p = –6, q = –9).
9 7 3
9 7 3
3
u
8 2, v1
1 1
По формулам (14): 1
2 2
2 2
По формуле (16´) находим корни уравнения x3–6x–9=0:
3
3
3
3
3
x1 3, x2 i
, x3 i
2
2
2
2
5
3
5
3
z
2
,
z
i
,
z
i
Отсюда (т.к. z=x–1): 1
◙
2
3
2
2
2
2

11. 3. Кубические уравнения

x1 u1 v1 ,
2
3
2
3
q
q
p
q
q
p
u 3
, v 3
2
4 27
2
4 27
(14)
u v u v
x2 1 1 1 1 i ,
2
2
u v u v
x3 1 1 1 1 i.
2
2
Пример 4. Решить уравнение x3 – 12x + 16 = 0.
◘ Здесь p = –12, q = 16.
По формулам (14) находим:
(16´)
u1 3 8 0 2, v1 3 8 0 2
По формулам (16´) находим корни уравнения:
x1 = –4, x2 = x3 = 2
◙

12. 3. Кубические уравнения

z = x – a/3 (7)
u 3
2
u v = – p / 3 (10)
3
2
3
q
q
p
q
q
p
, v 3
2
4 27
2
4 27
(14)
u v u v
x2 1 1 1 1 i ,
2
2
u v u v
x3 1 1 1 1 i.
2
2
(16´)
Пример 5. Решить: z3 – 9z2 + 21z – 5 = 0.
◘ Подставив в него z=x+3, получим: x3–6x+4=0,
т.е. p=–6, q=4. По формулам (14) и (10) находим:
v1
6
6(1 i )
1 i
3 (1 i )
3 2
u1 2 4 2 2i (1 i) 1 i
По формулам (16´) находим корни:
3
x1 u1 v1 ,
Отсюда:
3
3
3
x1 3, x2 1 3, x3 1 3
z1 5, z2 2 3, z3 2 3
◙

13. 4. Уравнения четвёртой степени

Дано уравнение четвёртой степени:
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0
(17)
с произвольными комплексными коэффициентами.
Его решение сводится к нахождению какогонибудь корня некоторого вспомогательного
кубичного уравнения.
Перепишем его в виде: x4 + ax3 = – bx2 – cx – d.
ax
К обеим частям прибавим выражение: 2
2
Получим:
2
2
2 ax a
x b x cx d
2 4
2

14. 4. Уравнения четвёртой степени

К обеим частям теперь прибавим:
2
2
2
2 ax a
x b x cx d
2 4
2 ax y y 2 2 ax
y2
2 x x y
2 2 4
2
4
2
Тогда:
2
2
2 ay
ax
y
2
a
y
(18)
x
b
y
x
c
x
d
2 2 4
2
4
Теперь число y подбирается так, чтобы квадратный трёхчлен
относительно x в правой части уравнения (18) был полным
квадратом, т.е. так, чтобы его дискриминант был равен 0.
Но тогда число y должно удовлетворить уравнению 3-й
степени:
2
a2
y 2
ay
(19)
D c 4 b y d 0
2
4
4
Полученное уравнение (19) называют кубической
резольвентой уравнения (17) .
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (17)

15. 4. Уравнения четвёртой степени

a2
y 2
ay
D
c 4
b y
d 0
2
4
4
2
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (17)
2
a2
2 ay
y2
2 ax y
b y x
c x
d
x
2 2
2
4
4
(18)
Пусть y0 – корень уравнения (19).
2 ax y 0
Тогда (18) приводится к виду: x (αx β) 2
2
2
для некоторых чисел и .
ax y 0
2
x
ux v,
Последнее уравнение
2
2
(20)
равносильно двум
y
ax
x2
0 (ux v).
2
2
квадратным уравнениям (20):
Решая (20), получим все четыре корня уравнения (17).
(19)

16. 4. Уравнения четвёртой степени

2
a2
2 ay
y2
2 ax y
b y x
c x
d
x
2 2
2
4
4
Пример 6. Решить: x4 – 2x3 + 2x2 + 4x – 8 = 0.
◘ Приведём к виду (18):
x 4 2 x 3 2 x 2 4 x 8
x 4 2 x3 x 2 x 2 4 x 8
( x 2 x) 2 x 2 4 x 8
2
y
y2
2
2
2
( x x) x 4 x 8 ( x x) y
2
4
2
y2
y
2
2
(21)
x
x
(
y
1
)
x
(
y
4
)
x
8
4
2
(18)

17. 4. Уравнения четвёртой степени

2
y2
y
2
2
(21)
x
x
(
y
1
)
x
(
y
4
)
x
8
4
2
Составляем кубическую резольвенту уравнения (21):
y2
( y 4) 4( y 1) 8 0
4
2
Непосредственно видно, что одним из корней
последнего уравнения является число y0=2.
Подставляя это значения в равенство (21) получим
уравнение: x 2 x 1 2 x 2 6 x 9 ( x 3) 2
Оно равносильно совокупности двух квадратных
уравнений: x 2 x 1 x 3
x 2 2x 4 0
2
x x 1 ( x 3)
y 3 2 y 2 24 x 48 0
x 2
2
Решая эти уравнения получим все корни данного
уравнения: x1 1 3i, x2 1 3i, x3 2 , x3 2.
◙