АЛГЕБРА 4-й семестр)
МНОГОЧЛЕНЫ НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ
§ 1. Многочлены над полем комплексных чисел
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
4. Уравнения четвёртой степени
4. Уравнения четвёртой степени
4. Уравнения четвёртой степени
4. Уравнения четвёртой степени
4. Уравнения четвёртой степени
868.50K
Категория: МатематикаМатематика

Многочлены над числовыми полями. Лекция 7

1. АЛГЕБРА 4-й семестр)

2023-24
учебный год

2. МНОГОЧЛЕНЫ НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ

ЛЕКЦИЯ 7

3. § 1. Многочлены над полем комплексных чисел

Основными задачами этого раздела
являются рассмотрение вопросов:
1. Основная теорема алгебры
2. Неприводимость многочленов над полем
комплексных чисел (т.е. в кольце C[x])
3. Число корней произвольного многочлена
с числовыми коэффициентами
4. Теорема Виета
5. Формулы для нахождения корней
уравнений 2, 3 и 4 степени

4. 3. Кубические уравнения

Пусть дано кубическое уравнение:
z3 + az2 + bz + c = 0
(6)
с любыми комплексными коэффициентами a, b и c.
Заменим в уравнении (6) переменную z новой
переменной x, связанной с z равенством:
z = x – a/3,
(7)
Получим уравнение относительно x, не содержащее
квадрата этой переменной:
x3 + px + q = 0
(8)
Найдя корни уравнения (8), мы получим и корни
уравнения (6). Остается, научиться решать уравнение
вида (8) с любыми комплексными коэффициентами p и q.

5. 3. Кубические уравнения

x3 + px + q = 0
(8)
Пусть x0 – любой корень уравнения (8). Введём
вспомогательную переменную y и рассмотрим уравнение:
y2 – x0 y – p / 3 = 0
Его коэффициенты – комплексные числа, и поэтому оно
обладает двумя комплексными корнями u и v, причём (по
формулам Виета):
u + v = x0
(9)
uv=–p/3
(10)
Подставляя в (8) выражение (9) корня x0, получим
(u+v)3+p(u+v)+q=0 или u3+v3+(3uv+p)(u+v)+q=0.
z1 z 2 ... z n c1
Однако из (10) следует 3uv+p=0 и поэтому получаем:
z1 z 2 ... z1 z n ... z n 1 z n c 2
3 + v3 = – q
u
(11)
f(z)=zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn ..........
.................
z z ...z ( 1) n c
n
1 2 n

6. 3. Кубические уравнения

u + v = x0 (9),
u v = – p / 3 (10),
u3 + v3 = – q (11)
С другой стороны, из (10) вытекает:
u3 v3 = – p3 / 27
(12)
Равенства (11) и (12) показывают, что числа u3 и v3 служат
корнями квадратного уравнения:
w2 + qw – p3 / 27 = 0
(13)
с комплексными коэффициентами.
Решая уравнение (13), получим:
q
q2 p3
w
Отсюда:
2
4
2
3
2
3
q
q
p
q
q
p
u 3
, v 3
2
4 27
2
4 27
27
(14)

7. 3. Кубические уравнения

x3 + px + q = 0 (8)
u + v = x0 (9)
u v = – p / 3 (10)
2
3
2
3
q
q
p
q
q
p
u 3
, v 3
2
4 27
2
4 27
Получаем формулу Кардано, выражающую корни
уравнения (8) через его коэффициенты при помощи
квадратных и кубических радикалов:
q
3
x u v
2
(14)
p2 p3 3 q
q2 p3
4
27
2
4 27
(15)
Т.к. кубический радикал имеет в поле С три значения, то
формулы (14) дают три значения для u и три для v. Нельзя
комбинировать любое значение u с любым значением v:
для данного значения u следует брать лишь то из трех
значений v, которое удовлетворяет условию (10).

8. 3. Кубические уравнения

x3 + px + q = 0 (8)
u + v = x0 (9)
u v = – p / 3 (10)
Пусть u1 будет одно из трёх значений радикала u. Тогда
два других u2 и u3 можно получить умножением
соответственно на кубические корни из единицы:
1
3
1
3
e1 i
, e2 i
2
2
2
2
Т.е. u2=u1e1 и u3=u1e2. Обозначим через v1 то значение
радикала v, которое соответствует значению u1
радикала u по (10). Два других значения v,
соответствующие u2 и u3 будут v2=v1e2, v3=v1e1.
В самом деле, ввиду e1e2=1 имеем:
u2v2=u1e1v1e2=u1v1e1e2=u1v1=–p/3, аналогично u3v3=–p/3.

9. 3. Кубические уравнения

x3 + px + q = 0 (8)
u + v = x0 (9)
u v = – p / 3 (10)
u2v2=–p/3, u2v2=–p/3, u3v3=–p/3.
Таким образом, все три корня уравнения (3) могут быть
записаны следующим образом:
x 1 = u1 + v 1
x 2 = u2 + v 2 = u 1e1 + v 1e2
(16)
x 3 = u 3 + v 3 = u 1e 2 + v 1e 1
Замечание. В случае, когда числа u1 и v1 являются
действительными, подставляя в формулу (16) в
выражения для x2 и x3 значения e1 и e2, получим явные
формулы для нахождения x2 и x3 по известным u1 и v1:
x1 u1 v1 ,
u v u v
x 2 1 1 1 1 i,
2
2
u1 v1 u1 v1
x3
i.
2
2
(16´)

10. 3. Кубические уравнения

z = x – a/3 (7)
x3 + px + q = 0 (8)
q
q2 p3
q
q2 p3
3
3
u
, v
2
4 27
2
4 27
(14)
x1 u1 v1 ,
u v u v
x2 1 1 1 1 i ,
2
2
u v u v
x3 1 1 1 1 i.
2
2
(16´)
Пример 3. Решить уравнение z3 + 3z2 – 3z – 14 = 0.
◘ Подстановка (7) z = x – 1 приводит к виду (8):
x3 – 6x – 9 = 0
(здесь p = –6, q = –9).
9 7 3
9 7 3
3
u
8 2, v1
1 1
По формулам (14): 1
2 2
2 2
По формуле (16´) находим корни уравнения x3–6x–9=0:
3
3
3
3
3
x1 3, x2 i
, x3 i
2
2
2
2
5
3
5
3
z
2
,
z
i
,
z
i
Отсюда (т.к. z=x–1): 1

2
3
2
2
2
2

11. 3. Кубические уравнения

x1 u1 v1 ,
2
3
2
3
q
q
p
q
q
p
u 3
, v 3
2
4 27
2
4 27
(14)
u v u v
x2 1 1 1 1 i ,
2
2
u v u v
x3 1 1 1 1 i.
2
2
Пример 4. Решить уравнение x3 – 12x + 16 = 0.
◘ Здесь p = –12, q = 16.
По формулам (14) находим:
(16´)
u1 3 8 0 2, v1 3 8 0 2
По формулам (16´) находим корни уравнения:
x1 = –4, x2 = x3 = 2

12. 3. Кубические уравнения

z = x – a/3 (7)
u 3
2
u v = – p / 3 (10)
3
2
3
q
q
p
q
q
p
, v 3
2
4 27
2
4 27
(14)
u v u v
x2 1 1 1 1 i ,
2
2
u v u v
x3 1 1 1 1 i.
2
2
(16´)
Пример 5. Решить: z3 – 9z2 + 21z – 5 = 0.
◘ Подставив в него z=x+3, получим: x3–6x+4=0,
т.е. p=–6, q=4. По формулам (14) и (10) находим:
v1
6
6(1 i )
1 i
3 (1 i )
3 2
u1 2 4 2 2i (1 i) 1 i
По формулам (16´) находим корни:
3
x1 u1 v1 ,
Отсюда:
3
3
3
x1 3, x2 1 3, x3 1 3
z1 5, z2 2 3, z3 2 3

13. 4. Уравнения четвёртой степени

Дано уравнение четвёртой степени:
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0
(17)
с произвольными комплексными коэффициентами.
Его решение сводится к нахождению какогонибудь корня некоторого вспомогательного
кубичного уравнения.
Перепишем его в виде: x4 + ax3 = – bx2 – cx – d.
ax
К обеим частям прибавим выражение: 2
2
Получим:
2
2
2 ax a
x b x cx d
2 4
2

14. 4. Уравнения четвёртой степени

К обеим частям теперь прибавим:
2
2
2
2 ax a
x b x cx d
2 4
2 ax y y 2 2 ax
y2
2 x x y
2 2 4
2
4
2
Тогда:
2
2
2 ay
ax
y
2
a
y
(18)
x
b
y
x
c
x
d
2 2 4
2
4
Теперь число y подбирается так, чтобы квадратный трёхчлен
относительно x в правой части уравнения (18) был полным
квадратом, т.е. так, чтобы его дискриминант был равен 0.
Но тогда число y должно удовлетворить уравнению 3-й
степени:
2
a2
y 2
ay
(19)
D c 4 b y d 0
2
4
4
Полученное уравнение (19) называют кубической
резольвентой уравнения (17) .
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (17)

15. 4. Уравнения четвёртой степени

a2
y 2
ay
D
c 4
b y
d 0
2
4
4
2
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (17)
2
a2
2 ay
y2
2 ax y
b y x
c x
d
x
2 2
2
4
4
(18)
Пусть y0 – корень уравнения (19).
2 ax y 0
Тогда (18) приводится к виду: x (αx β) 2
2
2
для некоторых чисел и .
ax y 0
2
x
ux v,
Последнее уравнение
2
2
(20)
равносильно двум
y
ax
x2
0 (ux v).
2
2
квадратным уравнениям (20):
Решая (20), получим все четыре корня уравнения (17).
(19)

16. 4. Уравнения четвёртой степени

2
a2
2 ay
y2
2 ax y
b y x
c x
d
x
2 2
2
4
4
Пример 6. Решить: x4 – 2x3 + 2x2 + 4x – 8 = 0.
◘ Приведём к виду (18):
x 4 2 x 3 2 x 2 4 x 8
x 4 2 x3 x 2 x 2 4 x 8
( x 2 x) 2 x 2 4 x 8
2
y
y2
2
2
2
( x x) x 4 x 8 ( x x) y
2
4
2
y2
y
2
2
(21)
x
x
(
y
1
)
x
(
y
4
)
x
8
4
2
(18)

17. 4. Уравнения четвёртой степени

2
y2
y
2
2
(21)
x
x
(
y
1
)
x
(
y
4
)
x
8
4
2
Составляем кубическую резольвенту уравнения (21):
y2
( y 4) 4( y 1) 8 0
4
2
Непосредственно видно, что одним из корней
последнего уравнения является число y0=2.
Подставляя это значения в равенство (21) получим
уравнение: x 2 x 1 2 x 2 6 x 9 ( x 3) 2
Оно равносильно совокупности двух квадратных
уравнений: x 2 x 1 x 3
x 2 2x 4 0
2
x x 1 ( x 3)
y 3 2 y 2 24 x 48 0
x 2
2
Решая эти уравнения получим все корни данного
уравнения: x1 1 3i, x2 1 3i, x3 2 , x3 2.

English     Русский Правила