Тригонометрия. Немного из истории…

1.

Тригонометрия

2.

Немного из истории…
1. Древние вавилоняне и египтяне изучали тригонометрию как часть астрономии; разделили окружность на 360
2. Древние индийцы: ввели названия
«синус», «косинус», составили таблицы
синусов, косинусов
3. IX-XVвв – Средний и Ближний
восток: составляли таблицы котангенса, тангенса, косеканса; ввели
понятие единичной окружности

3.

Немного из истории…
4. Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси
(1201-1274) выделил раздел
тригонометрии из астрономии
5. Лев Герсонид (1288-1344) – открыл
теорему синусов
6. XVII-XIXвв: применение тригонометрии в механике, физике, технике, как
часть математического анализа (Виетт,
Бернулли) – тригонометрические
символы, графики – синусоиды
7. Л.Эйлер: придал тригонометрии
современный вид

4.

Тригонометрия
(«три» - три, «гониа» - угол,
«метриа» - измеряю)
раздел математики,
изучающий
соотношение сторон и
углов в треугольнике

5.

Единицы
измерения углов
Градусы
Радианы

6.

Радианная
мера угла

7.

Градусная мера угла
=1
1 – цена одного деления
окружности, разделенной на
360 частей

8.

Радианная мера угла
1рад.
l=R
1 радиан – это величина
центрального угла, длина
дуги которого равна радиусу

9.

Радианная мера угла
l= R
Длина дуги окружности в
радиан: l= R

10.

Единицы измерения
углов
Радианы
Градусы
радиан=180

11.

Перевод из градусной
меры в радианную:
радиан=180
n
n
180
рад
.

12.

Пример:
1. 30
30
рад.
рад.
6
180
90
рад
.
рад.
2. 90
180
2
3
135
рад
.
рад
.
3.135
4
180

13.

№1: Переведите в
радианную меру углы:
1) 45
2) 60
3) 270

14.

Перевод из радианной
меры в градусную:
радиан=180
n рад. n 180

15.

Пример:
180
60
1.
рад.
3
3
180
45
2.
рад.
4
4
4 180
4
3.
рад.
144
5
5

16.

№2: Переведите в
градусную меру углы:
1)
9
рад.
2)
π
рад.
6
3
3)
рад.
4

17.

Перевод из градусной
меры в радианную:
n
n
180
рад.
Перевод из радианной
меры в градусную:
n рад. n 180

18.

Числовая окружность
Задание: окружность перенести в тетрадь,
объединить все указанные точки на одной
окружности и перевести радианы в градусы,
подписать значение градусов на этой же
окружности

19.

Самостоятельная работа
I вариант
II вариант
1. Переведите в радианную меру углы:
1) 60
2) 145
3) 240
1) 320
2) 105
3) 40
2. Переведите в градусную меру углы:
1) 2 рад.
5
8
2)
рад.
3
1) 9 рад.
4
5
2)
рад.
6

20.

Ответы
1.
1)
I вариант
II вариант
16
1)
рад.
9
7
рад.
2)
12
2
рад.
3)
9
рад.
3
29
рад.
2)
36
4
рад.
3)
3
2.
1) 72
2) 480
1) 405
2) 150

21.

ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ
Любую окружность можно рассматривать
как числовую, но удобнее всего
использовать единичную окружность, т.е.
окружность с радиусом 1
Длина окружности : L = 2πR.
Если R = 1, то L = 2π.

22.

Положительное направление
поворота:
y против часовой стрелки.
47 0
497 0
O
+
x
–
3230
Отрицательное
направление поворота:
по часовой стрелке.

23.

Поворот
В т. М можем попасть,
выполнив множество
разных поворотов.
y
37 0
900
3230
M
1800
397 0
00
3600
O
2700
x

24.

25.

Единичная окружность
y
r=1
M(x;y)
1
O
x
MD
sin
OМ
у
sin
1
sin у
y
D
1
*
x cos OD
OМ
x
cos
1
cos х
*

26.

называется ордината y точки М, а
косинусом угла – абсцисса x точки М, лежащей
Cинусом угла
на единичной окружности.
sin = y; cos = x
М ( cos ; sin )

27.

Единичная окружность
r=1
y
x2 + y2 = 1
sin у
M(x;y)
cos х
y
O
x
x
D
cos sin 1
2
2
Основное тригонометрическое тождество

28.

Единичная окружность
y
O
x
r=1
MD
tg
OD
у
tg
x
M(x;y)
sin
tg
cos
y
x ctg OD
DМ
D
x
ctg
y
cos
ctg
sin
*
*

29.

sin
tg
cos
cos
ctg
sin
Тогда :
sin cos
tg ctg
1
cos sin

30.

cos = x sin = y;
y
M1(0;1)
0
cos 00 1,
0
sin 00 0
cos 90 0 0,
900
sin 90 0 1
180
M2(-1;0)
2700
3600
1800
0
cos1800 1,
sin 1800 0
900
M(1;0)
x
O
270
0
cos 2700 0,
sin 2700 1
360
M3(0;-1)
0
cos 3600 1,
sin 3600 0

31.

Если угол
острый, то sin 0 и cos 0
tg 0; ctg 0
y
I
O
x

32.

Если угол
тупой, то sin 0 и cos 0
tg 0; ctg 0
y
II
O
x

33.

180 270 , то
sin 0 и cos 0
y
0
Если угол
0
tg 0; ctg 0
O
III
x

34.

Если угол
270 360 , то
sin 0 и cos 0
y
0
0
tg 0; ctg 0
x
O
IV

35.

ЗНАКИ тригонометрических функций
cos a
sin a
+
+
–
+
–
–
–
+
tg a
ctg a
–
+
–
+
+
–
+
–

36.

y
sin( ) sin
sin
O
sin( )
x
f ( x) f (x)
Функция нечетная

37.

y
cos( )
cos
cos
O
x
cos( )
f ( x)
f (x)
Функция четная

38.

sin
tg
cos
sin
sin ( ) sin
tg( )
tg
cos
cos
cos( )
f ( x) f (x)
Функция нечетная
Докажи самостоятельно
tg( ) tg
ctg( ) ctg

39.

f ( x)
f (x)
f ( x) f (x)
Функция четная
Функция нечетная
cos( )
sin( ) sin
cos
tg( ) tg
ctg( ) ctg

40.

y
Может ли абсцисса точки единичной
полуокружности иметь значения
0,3 [ 1;1]
– 2,8 [ 1;1]
-1
O
1 cos 1
1
x
1
[ 1;1]
3
1 [ 1;1]
3
2 [ 1;1]
1
3

41.

y
Может ли ордината точки единичной
полуокружности иметь значения
0,6 [ 1;1]
1
– 0,3 [ 1;1]
1 sin 1
x
O
7 [ 1;1]
1
7
-1
[ 1;1]
1,002 [ 1;1]

42.

Это интересно
Тригонометрия в ладони

43.

№0 Мизинец
№1 Безымянный
№2 Средний
№3 Указательный
№4 Большой
00
300
450
600
900
n
sin α =
2

44.

Значение синуса с использованием ладони
№ пальца
Угол α
0
0
sin 0 0
0
0
2
1
30
sin 30 0
1
1
2
2
2
45
sin 450
2
2
3
60
sin 60 0
3
2
4
90
sin 90 0
4
1
2

45.

Значение косинуса с
использованием ладони
№ пальца
Угол α
4
0
3
30
cos 30
3
2
2
45
cos 450
2
2
1
60
cos 60 0
1
1
2
2
0
90
4
1
2
cos 0 0
0
cos 90 0
0
0
2

46.

Периодичность тригонометрических
функций
При изменении угла на целое число оборотов
значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса
не изменяются

47.

у
sin
sin( 360 )
sin( 2 360 )
у
sin( n 360 )
cos
1
0
cos( 360 )
х
1
х
cos( 2 360 )
cos( n 360 )
tg
tg ( n 180 )
ctg
ctg ( n 180 )

48.

у
3
sin 60
2
1
cos 60
2
3
2
60
1
0
1
420 ?
sin 780
х
1
2
1
2
cos420
cos780 ?
sin
sin 780
420
sin( 60
2 360 )
sin( 60 360 )
sin 60
sin 60
3
2 23
cos 780
cos
420
360 ))
cos(
cos(60
60 2360
11
cos
cos60
60
22

49.

sin 765
cos 1110
sin( 45 2 360 )
cos(30 3 360 )
2
sin 45
2
3
cos 30
2
1
sin( 1470 ) sin 1470 sin( 30 4 360 ) sin 30
2
1
cos( 1140 ) cos1140 cos(60 3 360 ) cos 60
2
sin( 810 ) sin 810 sin( 90 2 360 ) sin 90 1
cos( 1170 ) cos1170 cos(90 3 360 ) cos 90 0

50.

Основные
тригонометрические
тождества

51.

Основные тригонометрические тождества
cos sin 1
2
2
1 cos sin
2
2
1 sin cos
2
sin cos
tg ctg
1
cos sin
1
1 tg
2
cos
2
1
1 ctg 2
sin
2
2

52.

Докажите тождество:
1
1
2
1 tg
2
cos
2
(1 ctg ) cos 1
3
2
sin
1
2
2 2tg
2
2
1
2

53.

Упростите выражения:
Решение:

54.

Преобразуйте выражения:
Решение:
∙

55.

Упростите выражение и найдите его
значение
Решение:
1 tg 1 tg
2
2
tg 3
2

56.

Найдите значение cos , tg , ctg для
4
острого угла , если
sin
1) Используя равенство
сos 2 1 sin 2
сos 2 sin 2 1
5
сos 1 sin 2
Подставим значения, получим
2
16
4
сos 1 1
25
5
25 16
25
2) Используя равенство tg sin
cos
4
4 5 4 1
5
tg 1
3 5 3 3
3
5
3
9
5
25

57.

cos
3) Используя равенство сtg
sin
3
3 5 3
5
сtg
4 5 4 4
5

58.

Вычислите значения тригонометрических
функция угла b зная, что:
Решение:

59.

Упростить выражение
1
1
(1 tg )
sin
2
4
cos cos
2

60.

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
-
это
формулы,
позволяющие
выражать
значения
тригонометрических функций любого
угла через функции угла первой
четверти, т.е. < 90°.
90
0

61.

ПРАВИЛО 1. Если угол откладывают от
оси ОX, то наименование функции не
меняется.
2
y
II
I
2
0
III
0
IV
x

62.

ПРАВИЛО 2. А если угол откладывают
от оси ОY, то наименование функции
меняется на сходное.
2
y
sin cos
tg ctg
II
I
0
0
IV
III
3
2
x
2
3
2

63.

ПРАВИЛО 3. Знак в правой части формулы
определяется по знаку функции в левой
части.
y
sin 2 sin
sin sin
II
cos 2 cos
I
2
0
III
0
IV
x
tg tg
ctg 2 ctg

64.

ПРАВИЛО 4. Знак в правой части формулы
определяется по знаку функции в левой
части.
2
II
y
sin cos
2
3
cos
sin
2
I
0
0
IV
III
3
2
tg
ctg
x
2
3
ctg
2
tg

65.

Запишите формулы приведения
sin 90 0
cos
tg 270 ctg
cos 180 0 cos
0
sin 270 0 cos
sin 360 sin
cos 90 0 sin
0

66.

Алгоритм применения формул
приведения
1) Определить, какой координатной четверти
принадлежит угол;
2) Найти знак данной функции в этой четверти;
3) Определить, меняется данная функция на
«кофункцию» или нет:
sinα cosα
tgα ctgα

67.

Задание 1.Выразите тригонометрические
функции через угол меньше 45°.
cos123 cos 90 33 sin 33
sin 168 sin 180 12 sin 12
tg174
tg 180 6 tg6
tg 263 tg 270 7 ctg 7
ctg 380 ctg 360 20 ctg 20
cos 969 cos 270 31 sin 31

68.

ЗАДАНИЕ 2. Упростить выражение
3 cos 3 cos 360 cos 90 sin 180
3 cos 3 cos sin sin
2sinα

69.

ЗАДАНИЕ 3. Найти значение выражения:
II
cos (90° + 45°)
- sin 45°
2
=
=
cos 135° =
2
cos(180° - 45°)
- cos 45 °
4
sin
3
III
π
3π π
sin
= sin
3
3 3
3
- sin 2
3

70.

Задание 4 (В7). Упростить выражение
sin 150° · tg225° =
sin 180 30 tg(180 45 )
= sin30 tg45
1
1
= 0,5
= 1
2
2

71.

Задание 4 (В7). Упростить выражение
sin 150° · tg225° =
sin 180 30 tg(180 45 ) sin 90 60 tg(270 - 45 )
1
1
sin30
tg45
1
=
= cos60 ctg45 1
2
2
1
=
= 0,5
2
1
=
= 0,5
2