Тригонометрия. Единичная окружность

1. Тригонометрия

1
у
у
1 М
М
N
-1
K
0
P-1
А
1 x
-1
N
0
K
-1 P
А
1 x

2. Содержание

Единичная окружность
Определение синуса и косинуса угла
Тригонометрические тождества
Тригонометрические формулы

3. Единичная окружность

• Единичная окружность
• Откладывание произвольных углов
• Полный оборот
• Радианная мера угла
• Перевод градусной меры в радианную
• Перевод радианной меры в градусную

4. Единичная окружность

N
-1
1
y
M +
0
1
K
−
-1
P
x

5. Откладывание углов

y
K(– 240о)
N(150о)
P(– 45о)
M(210о)
K
+
А
N
-1
1
0
M
P
-1
−
А(30о)
1
x

6. Полный оборот

M
1
y
+
t o
360
– (360o – t)
-1
1
0
360o + t
−
-1
x

7. Радианная мера угла

1 радиан –
это величина
центрального
угла
окружности
радиуса R,
опирающегося
на дугу
длины R.
1 рад =
360о
2π
1
y
M
1 рад
-1
0
1
-1
≈ 57о17'45''
О
x

8. Перевод градусной меры в радианную

π рад
180o
π
π
o
о
30 = 30
=
рад
180o
6
π
2π
o
о
120 = 120
=
рад
180o
3
π
5π
o
о
− 75 = − 75
=
−
рад
180o
12
to = tо

9.

Перевод радианной
меры в градусную
t рад = t
o
180
π
π
π 180o
рад = ∙ π = 60о
3
3
3π
3π 180o
рад = ∙ π = 135о
4
4
2π
2π 180o
о
–
рад = –
∙
= – 40
9
9 π

10. Определение синуса и косинуса

• Определение синуса и косинуса
• Определение тангенса и котангенса
• Знаки синуса и косинуса,
• Знаки тангенса и котангенса
• Расположение табличных углов на единичной окружности
• Расположение углов с шагом 30° на единичной
окружности
• Расположение углов с шагом 45° на единичной окружности
• Свойства четности и нечетности
• Таблица значений тригонометрических функций

11.

Определение синуса и
косинуса угла
Синус угла α –
это число, равное
ординате точки
единичной
окружности,
соответствующей
углу α. (sin α)
Косинус угла α –
это число, равное
абсциссе точки
единичной
окружности,
соответствующей
углу α. (cos α)
y
1
M
sin α
α
-1
0
-1
cos α
1
x

12.

Определение тангенса и
котангенса угла
Тангенс угла α –
это отношение
ординаты точки М к
ее абсциссе,
tgα=y/x= sinα/cosα
Котангенс угла α –
это отношение
абсциссы точки М к ее
ординате,
ctgα=x/y= cosα/sinα

13. Знаки синуса и косинуса

у
sin α
+
−
+
0
у
соs α
−
−
x
−
+
0
+
x

14. Знаки тангенса и котангенса

tg α
у
+
−
+
0
у
ctg α
−
−
x
+
+
0
−
x

15.

II
120°
135°
150°
180°
-1
1
2
I
60°
45°
30°
1
2
1
2
210°
225°
240°
III
1 90°
1
2
-1 270°
0°
1 x
330°
315°
300°
IV

16.

II
2
3
5
6
3
2
I
3
2
3
2
6
1
2
1
2
1
2
1
2
7
6
III
у
4
3
3
2
3
2
3
2
0
2
x
11
6
5
3
IV

17.

у
II
3
4
III
I
2
2
2
2
2
5
4
4
2
2
2
2
3
2
7
4
0
2
x
IV

18.

Таблица значений тригонометрической функции
0°
30°
45°
60°
90°
sin
0
1
cos
1
0
tg
ctg
0
1
-
-
1
0

19.

1
A
cos 2 sin 2
2
cos
B
2
2
3
sin 1
C
4
1 cos
D
5
1 tg
E
6
7
2
2
ctg через tg
1 ñtg
9
ctg
K
L
2
tg
sin2α
H
1
ctg
8
10
Установить
соответствие между
левой и правой
частью тождества.
через
sin иcos
M
через
sin иcos
N
1-sin2α
1
-cos2α

20.

Таблица значений
тригонометрических функций

21. Свойства четности и нечетности

cos(− α) = cos α
четная
M
1
y
sinα
α
-1
sin(− α) = − sin α
нечетная
cosα
0
−α
M1
−sinα
-1
x
1

22.

cos(− α) = cos α - четная
sin(− α) = − sin α - нечетная
tg(− α) = − tg α - нечетная
ctg(− α) = − ctg α - нечетная
cos(− 30 ) = cos 30
sin(−150 ) = − sin 150

23. Тригонометрические тождества

• Основное тригонометрическое тождество (1)
• Тригонометрическое тождество (2)
• Тригонометрическое тождество (3)
• Тригонометрическое тождество (4)

24. Основное тригонометрическое тождество

Основное
тригонометрическое y
1
тождество
M
sinα
α
-1
x2 + y 2 = 1
2
2
sin α + cos α = 1
cosα 1
0
-1
x

25. Тригонометрическое тождество

sin2α + cos2α = 1
2
: cos α
sin2α cos2α
1
+
=
cos2α cos2α cos2α
1
tg2α + 1 =
cos2α

26. Тригонометрическое тождество (3)

sin2α + cos2α = 1
2
: sin α
sin2α cos2α
1
+
=
2
2
2
sin α sin α
sin α
1
1 + ctg2α =
sin2α

27. Тригонометрическое тождество (4)

sinα
cosα
x
= 1
cosα sinα
tgα x ctgα = 1

28. Тригонометрические формулы

• Формулы приведения (правило)
• Формулы приведения (таблица)
• Формулы сложения
• Формулы суммы и разности синусов (косинусов)
• Формулы двойного аргумента
• Формулы половинного аргумента
• Формулы преобразования произведения в сумму

29. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ (ПРАВИЛО)

У
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
(ПРАВИЛО)
2
Х
0
2
3
2
Приведение через
«рабочие»
углы:
3 5
2
Название
функции
Знак
;
2
;
2
; ...
Меняется на
конфункцию
Приведение через
«спящие» углы:
; 2 ; 3 ; ...
Не меняется
Определяется по знаку функции в
левой части формулы

30.

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

31.

Формулы сложения
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
tg tg
tg ( )
1 tg tg

32.

Формулы суммы и разности
sin sin 2 sin
cos
2
2
sin sin 2 sin
cos
2
2
cos cos 2 cos
cos
2
2
cos cos 2 sin
sin
2
2

33.

Формулы суммы и разности

34.

Формулы двойного аргумента
sin 2 2sin cos
cos 2 cos sin
2
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2tg
tg 2
2
1 tg
2

35.

Формулы половинного аргумента
1 cos
sin
2
2
2
1 cos
cos
2
2
2

36.

Формулы преобразования
произведения в сумму