Похожие презентации:
Определенный интеграл. Его основные свойства
1. Тема: Определенный интеграл. Его основные свойства.
2. Первообразная
Функция F(x) называетсяпервообразной для функции f(x) на
данном промежутке, если для любого
x из этого промежутка F’(x) = f(x).
Пример:
Первообразной для функции f(x)=x на всей
числовой оси является F(x)=x2/2, поскольку
(x2/2)’=x.
3. Неопределенный интеграл
Совокупность всех первообразныхданной функции f(x) называется ее
неопределенным интегралом и
обозначается f ( x)dx :
f ( x)dx F ( x) C
,
где C – произвольная постоянная.
4.
Фигура aABb называетсякриволинейной трапецией
5. Определенный интеграл
Вычислим площадь криволинейной трапеции.Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем
через полученные точки прямые, параллельные оси
OY. Заданная криволинейная трапеция разобьется
на n частей. Площадь всей трапеции приближенно
равна сумме площадей столбиков.
S n f ( x0 ) x0 f ( x1 ) x1 ... f ( xn 1 ) xn 1
S Sn
по определению S lim S n
, его называют
n
определенным интегралом от функции
b
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
f ( x)dx
a
6.
Теорема: Если функция f (x ) непрерывна наотрезке [a, b], а функция F (x )
является первообразной для f (x )
на этом отрезке, то справедлива
формула:
b
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F (a) (3)
a
формула Ньютона-Лейбница
7.
Вычислите определённые интегралы:5
9
1
8. До 17 века:
S a bb
S a
a
a
a
a b
S
h
2
b
2
9.
yС появлением дифференциального и интегрального
исчисления:
S
S
0
S1
S3
S2
x
10. Историческая справка:
Обозначение интеграла Лейбниц произвёл отпервой буквы слова «Сумма» (Summa).
Ньютон в своих работах не предложил
альтернативной символики интеграла, хотя
пробовал различные варианты. Сам термин
интеграл придумал Якоб Бернулли.
Готфрид Вильгельм
фон Лейбниц
Исаак Ньютон
Якоб Бернулли
11.
Оформление определённого интеграла впривычном нам виде придумал Фурье.
Обозначение неопределённого
интеграла ввёл Эйлер.
Леонард Эйлер
Жан Батист Жозеф Фурье
12. Основные свойства определенного интеграла
af ( x)dx 0
a
b
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
b
13.
Основные свойства определенного интегралаb
c
b
a
a
y f (x) c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
y
0
a
с
b
x
14. Основные свойства определенного интеграла
bb
a
a
cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
b
b
b
a
a
a
(
f
(
x
)
g
(
x
))
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx
15.
16. Площадь фигуры,
Ограниченной графиками непрерывныхфункций y=f(x) и y=g(x) таких, что f ( x) g ( x)
для любого x из [a;b], где a и b –
абсциссы точек пересечения графиков
b
функций:
S ( f ( x) g ( x)) dx
a
17. Примеры
Вычислить площадь фигуры,2
y
x
2x 3 и
ограниченной линиями
y x 1
2
18. Продолжение
S x 2 x 3 x 1 dx 2 x1
2
1
2
1
x
x
2 x x 2 dx 2
2x
3
2
2
2
1
2
3
2
1 1
8
8 4
1 1
2 2 4 2 2 6
3
3 2
3 2
3 2
1
9
2 3 8 2 9
2
2
2 x 4 dx
2
2
2
19.
y x2y
y
1
А
0
1
x
Найти площадь
фигуры
ограниченной
линиями y x
y x
2
20. Подведение итогов
Домашнее заданиеП.6.7
№ 6.64(б,г,д),6.65(в),
6.69
21. Спасибо за внимание!
« ТАЛАНТ –это 99% труда и 1% способности»
народная мудрость