Определённый интеграл. Свойства определённого интеграла

1. Определённый интеграл Свойства определённого интеграла

2.

1.
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
a
f ( x) 0
2.
a
3.
b
b
a
a
kf ( x)dx k f ( x)dx , k-любое число

3.

4.
b
b
b
a
a
a
( f1 ( x) f 2 ( x))dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx
5.Аддитивность определённого интеграла. Для
любых чисел a,b,c справедливо:
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

4.

a; b
6) Если на
, то
f x 0
f x dx 0.
b
a
7) Если на
f x x
a; b
f x dx x dx
b
b
a
a

5. Теорема о среднем

Если функция непрерывна на [ a, b], то
существует такая точка C [a, b],
b
что
f ( x)dx f (C )(b a).
a
y f (x)
a
C
b

6. Формула Ньютона-Лейбница.

Если F(x) есть какая-либо
первообразная
от непрерывной на [ a, b] функции
f(x), то справедлива формула
Ньютона-Лейбница:
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a

7.

Пример.
0, 5
dx
1 x arcsin x
2
0
0,5
0
arcsin 0,5 arcsin 0
6

8. Методы интегрирования

9.

x z
9
dx 2 z dz 3 2 z dz
dx
4
x 1 x 2; z 2 2 z 1
x 9; z 3
2
z 1 1
1
2
dz 2 1
dz
3
3
z 1
2
2
z 1
9
2 z 2 2ln z 1 2 6 4 2 ln 4 2 ln 3 2 ln
16
3
3

10. Интегрирование по частям в определённом интеграле.

b
b
udv
u
v
vdu
a
b
a
a

11.

u x; du dx
x cos x dx dv cos x dx
0
v cos x dx sin x
x sin x 0 sin x dx
0
sin 0 sin 0 cos x 0
0 0 cos cos0 1 1 2

12. Геометрические приложения определенного интеграла

13.

a; b
y f x
• 1. Если
непрерывна и
положительна, то
с основанием
кр .тр .
ограниченной сверху графиком
этой функции можно найти по формуле
S
S f x dx
b
a

14.

2. Если
f x 0 на a; b .
f x 0
S f x dx f x dx
b
b
a
a
b
S f ( x) dx
a

15.

y
y=-f(x)
0 a
b
x
y=f(x)

16.

3.Рассмотрим случай, когда фигура
ограничена сверху графиком функции
, снизу графиком функции
b
y f x
y x .
S f ( x) ( x)dx
a

17.

y
y=f(x)
y= (x )
0
a
b
x

18.

y
y=e
x
1
1
0
x
y=-x2
3 1
1
x
1
2
S (e x )dx (e ) e 1 e
3 0
3
3
0
x
2
x

19. Примеры

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
2
и
y x 2x 3
y x 2 1

20.

Получим
1
1
2
S x 2 2 x 3 x 2 1 dx 2 x 2 x 4 dx
2
2
1
x
x
2 x
2 x x 2 dx 2
2
2
3
2
1
2
3
2
1 1
8
8 4
1 1
2 2 4 2 2 6
3
3 2
3 2
3 2
1
9
2 3 8 2 9
2
2

21. Вычисление площадей

В случае параметрического задания
кривой, площадь фигуры, ограниченной
прямыми x a, x b, осью Ох и кривой
x (t ), y (t ),вычисляют по
t2
формуле
S (t ) (t )dt ,
t1
где пределы интегрирования определяют из
уравнений
a (t1 ), b (t 2 ) .
.

22. Пример.

2
2
x
y
Найти площадь эллипса
.
1
2
2
a
b
Параметрические уравнения эллипса
x a cos t , y b sin t.
S 4 b sin t ( a sin t )dt
/2
у
/2
b
х
о
0
a
/2
1 cos 2t
4ab sin tdt 4ab
dt
2
0
0
2
1
1
/2
4ab(t sin 2t ) 0 2ab ab.
2
2
2

23. Вычисление площадей

Площадь полярного сектора вычисляют по формуле
1 2
S r ( )d
2
r r ( )
.
β
α

24. Пример.

Площадь фигуры, ограниченной
и лежащей вне круга радиуса
:
лемнискатой Бернулли
2
2
r a cos 2
r
a
2
/6
/6
/6
2
1
1 a
1 2
1 2
2
a cos 2 d
d ( a sin 2 a )
2 0
2 0 2
4
4
0
1 2
a2
3
a2
a (sin )
(
)
( 3 )
4
3 6
4 2 6
8
3
a2
S
( 3 )
2
3

25. Вычисление длины дуги

Если кривая задана параметрическими
уравнениями x t , y t , то длина
ее дуги
t
2
l
2
2
t t dt
t1
где t1 ,t 2 –значения параметра,
соответствующие концам дуги .

26. Длина дуги в декартовых координатах

Если кривая задана уравнением y f x ,
b
то
2
l
1 f x dx
a
где a, b–абсциссы начала и конца дуги a b .
Если кривая задана уравнением x g y ,
d
то
,
2
l
c
1 g y dy
где c, d–ординаты начала и конца дуги c d .

27. Длина дуги в полярных координатах

Если кривая задана уравнением в полярных координатах
то
где
дуги .
l
2
2 d
–значения полярного угла, соответствующие концам
,
,

28. Пример.

y x
Вычислить длину дуги кривой
от точки
до
.
B 4,8
O 0,0
, 3тогда1
y x x 2
2
4
4
4
9 9
9
l 1 x dx
1 xd 1 x
4
90
4 4
0
3
2
4 2 9
1 x
9 3 4
3
2
4
8
10 10 1
27
0
3

29. Вычисление объема тела вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox
криволинейной трапеции, ограниченной кривой
,
отрезком оси абсцисс
и прямыми
, вычисляется
по формуле
y f x
a x b
x a, x b
b
Vx π
f x dx
2
a

30.

Y
f x
a
x
b
X

31. Вычисление объема тела вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры,
ограниченной кривой
, отрезком оси ординат
и
прямыми
, вычисляется по формуле
x g y
y c, y d
c y . d
d
Vy
g
y
dy
2
c

32. Пример.

y x2
y
А
1
0
1
y
x

33.

Искомый объем можно найти как разность
объемов, полученных вращением вокруг
оси Ox криволинейных трапеций,
ограниченных линиями y x и

34. Решение.

x dx x dx
1
Тогда
Vx
1
1
1
2
0
0
2 1
x
xdx x dx
2
0
0
4
3
2 5 10
0
2 2
5 1
x
5
0