Определенный интеграл, его свойства. Способы интегрирования. Лекция № 9

1.

Лекция № 9
Определенный интеграл,
его свойства. Способы
интегрирования.

2.

Определенный интеграл.
Теорема 1. Если функция f(x) монотонна на отрезке [a;b], то
она интегрируема на этом отрезке.
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b],
то она интегрируема на этом отрезке
Если функция f(x) интегрируема на отрезке[a;b], то
выражение
b
a f ( x)dx - называется определенным интегралом. Величины
a,b называются пределами интегрирования,
соответственно а – верхний предел, b – нижний предел.

3.

Свойства определенных интегралов
1) Для любого действительного числа
dx (b a) (1)
2) Если f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то
для любого действительного числа
функция f(x0 также интегрируема на [a;b].
f ( x)dx f ( x)dx (2)
3) Если f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке
[a;b], то и сумма f(x) + g(x) также
интегрируема на [a;b]. f (x) g (x) dx f (x)dx g ( x)dx (3)
a
b
a
a
b
b
a
a
a
b
b
b

4.

4) Если на отрезке [a;b] функция f(x) и g(x)
интегрируемы и f(x) g(x), то f ( x)dx g ( x)dx
(4)
5) Если функция f(x) интегрируема на
отрезке [a;b], то она интегрируема на
любом отрезке, содержащемся в [a;b].
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx (5)
a
c
b
b
a
a
a
Если a=b, то f ( x)dx 0
(6)
Если a b , то f ( x)dx f ( x)dx (7)
b
a
a
b
b
a
a
b
b

5.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], а функция
F(x) является первообразной для функции f(x) на [a;b], то
справедлива формула
f ( x)dx F ( x) F a F b - формула Ньютона-Лейбница. Способы
интегрирования
a
a
b
b
Способы интегрирования
Непосредственное интегрирование – применяется для
интегрирования простых функций. Сводится к математическим
преобразованиям приводящим интеграл к табличному виду и
дальнейшему его вычислению с помощью формулы НьютонаЛейбница.
/4
1) cos xdx sin x 0 / 4 sin sin 0 2 0.5 2
4
0
4
x3
2) x dx
3
0
2
3)
4
0
64
21,33.
3
2

6.

Интегрирование методом подстановки (введение новой
переменной). Применяется для интегрирования сложных
функций. Сводится к выполнению следующих шагов
алгоритма:
Алгоритм
1) Ввести новую переменную
2) Найти дифференциал переменной равный
произведению производной функции на дифференциал
аргумента.
3) Вычислить дифференциал аргумента.
4) Изменить границы интегрирования.
5) Подставить введенные величины под знак интеграла.
6) Методом математических преобразований привести
интеграл к табличному интегралу и найти значение
первообразной.

7.

7) Используя формулу Ньютона-Лейбница найти числовое
значение интеграла.
9
1
49
3
3
49
49 1
1
1
1
1 2
1 2 2
(49 2 1) (73 1) 38.
6 x 5dx t dt t dt t
9
61
61
6 3 1 9
1
dt
6
Сделаем подстановку: 6∙x – 5 =
Вычислим новые пределы: при xн = 1, tн = 1; xв = 9, tв = 49.
e
2) I ln xdx
t; dx
x
1
Сделаем замену: ln x = t или x = et, тогда если x = 1, то t = 0,
а если x = e, то t = 1. В результате получим:
1
1
ln et et dt
t2
I
t dt
t
e
2
0
0
1
0
1
2

8.

Геометрический смысл определенного интеграла.
С позиции геометрии определенный интеграл численно равен площади
фигуры ограниченной: сверху (или снизу) — участком графика подинтегральной функции от x = a до x = b; справа и слева —
вертикалями x = a и x = b; снизу (или сверху) — отрезком b – a оси
ОХ.
Это свойство определенного интеграла дает возможность через него
аналитически определять площади плоских фигур и наоборот, по
площадям фигур графически (приблизительно) находить значение
определенного интеграла.
Задача 1. Определить площадь фигуры (SABCDE), изображенной на
рисунке 34.

9.

Закрепление материала.
1)
2)
3)
4)
5)