Свойства определенного интеграла

1.

Свойства определенного интеграла
a
b
a
a
1. f x dx 0 , 1 dx b a .
b
a
a
b
2. f x dx f x dx .
b
b
b
a
a
a
3. Линейность. f x g x dx f x dx g x dx .
4. Если f x R a, b и g x R a, b , то f x g x R a, b .
5. Если f x R a, b и c, d a, b , то f x R c, d .
6. Аддитивность. Если f x R a, c и f x R c, b , то
b
c
b
a
a
c
f x R a, b и f x dx f x dx f x dx .
Утверждение справедливо и для сегментов c, a , c, b или a, c , b, c .
1

2.

b
m
7. Если f x R a, b и x a, b f x
,
то
f
x
dx
m b a .
m
a
Следствие. Если f x R a, b и x a , b f x m , то
b
f x dx m b a ,
a
причем, если f x C a, b и не равна тождественно m , то неравенство
становится строгим.
8. Интегрирование неравенств.
f x , g x R a, b
x a, b f x g x
f x , g x R a, b
9.
x a, b g x 0
10. f x R a, b
b
b
a
a
f x dx g x dx .
b
b
b
a
a
a
m g x dx f x g x dx M g x dx .
f x R a, b и
b
b
a
a
f x dx f x dx .
2

3.

11. Первая формула среднего значения.
Пусть g x R a, b и x a, b g x 0 (или g x 0 ).
f x R a, b
f x C a, b
m, M
b
b
a
a
f x g x dx g x dx ;
b
b
a
a
a, b f x g x dx f g x dx .
12. Вторая формула среднего значения (теорема Боне).
Если f x R a, b , а g x монотонна на a, b , то
a, b
b
b
a
a
f x g x dx g a f x dx g b f x dx .
3

4.

Интеграл с переменным верхним пределом
Если f x R a, b и с a, b , то x a, b f x R c, x , а значит,
определена функция
x
F x f t dt
(*)
c
которую называют интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема. Если f x R a, b , то интеграл с переменным верхним пре-
делом – непрерывная на a, b функция верхнего предела. Если дополнительно
потребовать непрерывности на a, b функции f x , то интеграл (*) будет
дифференцируемой на a, b функцией и
x
d
f t dt f x .
dx c
З а м е ч а н и е : Интеграл с переменным верхним пределом используется для
определения новых функций. Например, интегралы Френеля:
C x
x
2
2
cos
t
dt , S x
0
x
2
2
sin
t
dt .
0
13

5.

Формула Ньютона-Лейбница
f x R a, b
b
f x dx F b F a F x a
b
a
Формула интегрирования по частям
b
b
u x C1 a, b
b
u x v x dx u x v x a u x v x dx .
1
v x C a, b
a
a
Замена переменной под знаком определенного интеграла
f x C a , b
1
x g t C ,
a, b g , , g a, g b
b
a
f x dx f g t g t dt .
15

6.

0, f x нечетна,
1. f x dx a
a
2 f x dx, f x четна.
0
a
2. Если f x имеет период T 0 и f x R a, a T , то
b
b T
a T
b
a
f x dx f x dx .
18

7.

Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме
Пусть f x имеет в некоторой -окрестности точки a непрерывную производную
n 1 -го порядка и пусть точка x принадлежит -окрестности точки a . Тогда
x
1
n
n 1
Rn 1 x f t x t dt
n! a
является остаточным членом формулы Тейлора для функции f x с центром в точке a .
x
f x f a f t dt ;
a
x
u f t x
x
a f t dt v x t a f t d x t x t f t a a x t f t dt
x
x
x a f a x t f t dt ;
a
x
u f t x
2
2
2
x
x
t
x
t
x
t
a f t x t dt v x t 2 a f t d 2 2 f t a 2 f t dt
a
2
x
x
x a
x t f t dt ,
f a
2
2
2
a
2
и т.д.
x
x a
x a
1
n
n 1
n
f x f a f a x a f a
... f a
f t x t dt .
2
2
n
n!
n! a
20