Определенный интеграл

1.

2.

Пусть
на
отрезке
[a,b]
задана
неотрицательная функция y=f(x).
Требуется найти площадь криволинейной
трапеции, ограниченной кривой y=f(x),
прямыми x=a, x=b и осью абсцисс y=0.
Рассмотрим
ломаную,
расположенную
достаточно близко к кривой.

3.

Фигура под ломаной состоит из трапеций и
ее площадь равна сумме площадей всех
трапеций:
S Sтрап
Причем,
площадь
под
кривой
будет
приближенно равна площади под ломаной,
если ломаная достаточно близко подходит к
кривой.

4.

y
y f (x)
a
b x

5.

За искомую площадь под кривой берут
предел площади под ломаной при условии,
что ломаная неограниченно приближается
к кривой.
Разобьем отрезок [a,b] на n элементарных
отрезков точками х0, х1, …хn .
На каждом из отрезков выберем точку ξi , и
найдем значение функции в этой точке
f ( i )
Положим
xi xi xi 1

6.

Сумму вида
n
f ( ) x
i 1
i
i
называют интегральной суммой
для функции y=f(x) на отрезке [a,b] .

7.

Интегральная сумма зависит от способа
разбиения отрезка и выбора точек ξi
Каждое отдельное слагаемое в интегральной
сумме
f ( i ) xi
равно площади
сторонами
прямоугольника
Si
f ( i )
и
xi
со

8.

y f (x)
y
f ( 3 )
f ( 2 )
f ( 1 )
x0
1 x1 2 x2
3 x3
x

9.

Наибольший из отрезков разбиения
xi 1 , xi
обозначим как
max xi
Вся интегральная сумма будет равна
n
S Si
i 1

10.

Если
существует
конечный
предел
интегральной суммы при max xi 0
не зависящий от способа разбиения отрезка
[a,b] и выбора точек ξi, то он называется
определенным интегралом от функции
y=f(x) на отрезке [a,b].
b
n
lim
max xi 0
f ( ) x f ( x)dx
i 1
i
i
a

11.

Функция y=f(x) называется интегрируемой
на отрезке [a,b].
Числа a и b называются нижним и верхним
пределом, соответственно.

12.

Неопределенный интеграл
f ( x)dx
есть семейство функций, а определенный
b
интеграл
f ( x)dx
a
есть определенное число.
По определению предполагается, что а < b.
Положим
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx

13.

С учетом этого несущественно, какой предел
больше или меньше.
Если а = b, то
a
a
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
a
2 f ( x)dx 0
a
a
f ( x)dx 0
a

14.

Интегрируемая на отрезке [a,b] функция
y=f(x) ограничена на этом отрезке.

15.

Если на отрезке [a,b] функция y=f(x)
непрерывна, то она интегрируема на
этом отрезке.

16.

1
Постоянный множитель можно выносить
за знак определенного интеграла.
b
b
a
a
k f ( x)dx k f ( x)dx

17.

2
Определенный интеграл от алгебраической
суммы (разности) двух функций равен
сумме (разности) интегралов от
этих функций.
b
b
b
a
a
a
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx

18.

3
Если отрезок интегрирования разбит
на части, то интеграл на всем отрезке
равен сумме интегралов по каждому
из участков разбиения.
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

19.

Геометрически это означает, что если a<c<b и
функция y=f(x) неотрицательна на [a,b], то
согласно
геометрическому
смыслу
определенного интеграла
b
c
b
f ( x)dx S f ( x)dx S f ( x)dx S
1
a
a
S1 S2 S
c
2

20.

y
y f (x)
1
a
2
c
b x

21.

4
f ( x) g ( x)
Если на [a,b], где a<b,
то
b
b
a
a
f ( x)dx g ( x)dx

22.

Пусть на [a,b], где a<b,
m f ( x) M
где m и M некоторые числа. Тогда
b
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a

23.

6
Если
на
[a,b]
функция
y=f(x)
неотрицательна, то площадь под этой
кривой численно равна определенному
интегралу
b
f ( x)dx S
a

24.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке
[a,b] и F(x) – любая первообразная этой
функции на [a,b], то определенный интеграл от
функции f(x) на [a,b] равен приращению
первообразной на этом отрезке:
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a

25.

Нахождение определенных интегралов с помощью
формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два
этапа:
1
Находится некоторая первообразная F(x)
подынтегральной функции f(x).
2
Находится
приращение
первообразной,
равное искомому интегралу.

26.

1
Вычислить определенный интеграл
1
2
x
dx
0
3 1
1
x
0 x dx 3
2
0
1
1
0
3
3

27.

2
2
2
3 x 5
dx
1
2
2
1
3 x 5
2
2
x
2
1
1
1 8
3x
x
dx
2 dx
8 dx
32 1
32 1
32 ln 8 1
1 8
8
7
32 ln 8 ln 8 12 ln 2
2

28.

Рассмотрим правило замены переменной и
интегрирование
по
частям
в
определенном интеграле.
Сформулируем две теоремы.

29.

Пусть функция φ(t) имеет непрерывную
производную на [α,β], где φ(α)=a, φ(β)=b и
функция f(x) непрерывна в каждой точке
х=φ(t), где
t ,
Тогда справедливо равенство:
b
f ( x)dx f (t ) (t )dt
a

30.

Как
и
в
случае
неопределенного
интеграла замена переменной во многих
случаях позволяет свести интеграл к
табличному.
В
этом
случае
не
обязательно
возвращаться
к
исходной
переменной
интегрирования.
Достаточно
найти
пределы
интегрирования
новой
переменной как решения уравнений
(t ) a (t ) b

31.

На
практике,
переменной,
выражение
выполняя
замену
часто
указывают
t (x)
новой переменной через старую. В
этом
случае
нахождение
пределов
интегрирования
по
переменной
t
упрощается:
(a) (b)

32.

Вычислить определенный интеграл
x 2 x dx
1
0
2 5

33.

2 x2 t
dt 2 xdx
x 2 x dx x 0,
1
2 5
0
t 2
x 1, t 1
1
6 1
1 5
1t
t dt
22
2 6
2
1 64 1 21
2 6 6 4

34.

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют
непрерывные производные на [α,β], тогда
b
udv u v
a
где
b
b
a
v du
a
u v a
b
u (b) v(b) u (a ) v(a )

35.

Вычислить определенный интеграл
1
ln( 1 x)dx
0

36.

ln( 1 x) u
1
1
du
dx
0 ln( 1 x)dx dv1 dxx
v x
1
1
1
x
x ln( 1 x) 0
dx
1 x
0
1
1
1
1
ln 2
dx dx ln 2 ln 1 x 0 x 0 2 ln 2 1
1 x
0
0