Прямая на плоскости

1. Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой
Уравнение прямой в отрезках
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Угол между двумя прямыми
Расстояние от точки до прямой
Биссектриса углов между прямыми
Деление отрезка в заданном отношении

2. Общее уравнение прямой

Уравнение вида:
Ax By C 0
с произвольными коэффициентами А; В; С такими , что А и В не
равны нулю одновременно, называется общим уравнением
прямой.
М0(х0; у0 )
Теорема
Если точка М0(х0; у0 ) принадлежит прямой, то
общее уравнение прямой превращается в
тождество: Ax0 By 0 C 0
Пусть задана прямая: Ax By C 0
Вектор n
A; B будет ортогонален этой прямой.
Доказательство:
Пусть некоторая точка М0(х0; у0 ) принадлежит прямой:
Ax0 By 0 C 0
(2)
(1)

3. Общее уравнение прямой

Найдем разность уравнений (1) и (2):
Ax By C 0
Ax0 By 0 C 0
n
М (х; у )
М0(х0; у0 )
A x x0 B y y 0 0 (3)
Пусть точки М0(х0; у0 ) и М (х; у ) лежат на данной прямой.
Рассмотрим векторы: n
A; B и M M x x ; y y
0
0
0
Равенство (3) представляет собой скалярное произведение этих
векторов, которое равно нулю:
n M0 M 0
n M0 M
Таким образом, вектор n перпендикулярен прямой и называется
нормальным вектором прямой.
Равенство (3) также является общим уравнением прямой

4. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой называется полным, если все
коэффициенты А, В, и С отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.
Виды неполных уравнений:
1)
C 0;
Ax By 0
2)
B 0;
Ax C 0
3)
A 0;
By C 0
4)
B C 0;
Ax 0 x 0
5)
A C 0;
By 0 y 0
y
0
х

5. Уравнение прямой в отрезках

Рассмотрим полное уравнение прямой:
Ax By C 0
x
y
C C 1
A
B
C
Обозначим:
a
A
Ax By
1
C C
Получим:
x y
1
a b
Ax By C
C
b
B
y
Уравнение в отрезках
Уравнение в отрезках
используется для построения
прямой, при этом a и b – отрезки,
которые отсекает прямая от осей
координат.
b
0
a
х

6. Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой,
называется направляющим вектором этой прямой.
Требуется найти уравнение прямой, проходящей через заданную
точку М0(х0; у0 ) и параллельно заданному вектору q l; m
Очевидно, что точка М (х; у ) лежит на
прямой, только в том случае, если
векторы
q l; m и M 0 M x x0 ; y y0
q
М (х; у )
М0(х0; у0 )
коллинеарны.
По условию коллинеарности получаем:
x x0
y y0
l
m
Каноническое уравнение
прямой

7. Каноническое уравнение прямой

Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от
друга точки: М1(х1; у1 ) и М2(х2; у2 ).
q
М2(х2; у2 )
М1(х1; у1 )
Тогда в качестве направляющего вектора в каноническом
уравнении можно взять вектор:
q M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1
x x1
y y1
y2m
y1
x2 l x1
Уравнение прямой,
проходящей через две
заданные точки

8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если прямая не параллельна оси OY и имеет направляющий
вектор q l; m , то угловой коэффициент k этой прямой
равен тангенсу угла наклона прямой к оси OX.
y
mq
0
m
k tg
l
l
x x0
y y0
l
m
х
Уравнение прямой с
угловым коэффициентом
m
y y0 k ( x x0 )
l
y y0 kx kx0 y kx yb0 kx0
Уравнение прямой с
=b
угловым
коэффициентом

9. Пример

Прямая проходит через точку М(1; 2 ) и имеет направляющий
вектор: q { 1; 3}
Написать: каноническое, общее уравнение прямой, уравнение
прямой в отрезках, уравнение с угловым коэффициентом.
Найти нормальный вектор прямой, отрезки, которые отсекает
прямая от осей координат и угол, который составляет прямая с
осью OX.
1. Каноническое уравнение:
2. Общее уравнение:
3x y 5 0
x 1 y 2
1
3
N {3;1}
x 1 y 2
1
3
3 ( x 1) ( y 2)

10. Пример

3. Уравнение в отрезках: 3 x y 5 0
3x y
1
5 5
x y
1
5
5
3
a
5
3
4. Уравнение с угловым коэффициентом:
3x y 5
b 5
3x y 5 0
y 3 x 5
y
b
М
q
N
0
a
х
k tg 3

11. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:
L1 :
L2 :
A1x B1y C1 0
A2 x B2 y C2 0
L2
Угол между этими прямыми
определяется как угол между
нормальными векторами к этим прямым:
n1 A1;B1
n2
n1
n2 A2 ;B2
n1 n2
cos cos(n1; n2 )
n1 n2
A1 A2 B1 B2
A12 B12 A22 B22
A1 A2 B1 B2 0
L1 L2
A1 B1
A2 B2
L1 ll L2
L1

12. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:
L1 :
L2 :
x x1 y y 1
l1
m1
x x2 y y 2
l2
m2
L2
q2
Угол между этими прямыми определяется
как угол между направляющими векторами
к этим прямым: q1 l1;m1
q2 l 2 ;m2
q q
cos cos(q1; q2 ) 1 2
q1 q2
l1 l 2 m1 m2 0
l1 m1
l 2 m2
q1
l1 l 2 m1 m2
l12 m12 l 22 m22
L1 L2
L1 ll L2
L1

13. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами:
y
L
L1 :
y k1x b1
L2 :
y k2 x b2
2
2 1
k1 tg 1
1
k2 tg 2
2
0
tg 2 tg 1
k 2 k1
tg tg ( 2 1 )
1 tg 2 tg 1
1 k 2 k1
k1 k2 1
k1 k2
L1 L2
L1 ll L2
х
L1

14. Расстояние от точки до прямой

Пусть необходимо найти расстояние от точки М0(х0; у0 ) до
прямой, заданной общим уравнением: Ax By C 0
М0(х0; у0 )
n
Пусть М1(х1; у1 ) – основание
перпендикуляра, опущенного из
точки М0 на прямую L.
d
М1(х1; у1 )
d M1M0 x0 x1; y 0 y1
L
Найдем скалярное произведение векторов n
A; B и M M
1
n M1M0 n M1M0 cos
0
или
n M1M0 n M1M0
cos 1
n d
Найдем скалярное произведение в координатной форме:
n M1M0 A( x0 x1 ) B( y 0 y1 ) Ax0 Ax1 By 0 By1
0

15. Расстояние от точки до прямой

Ax0 By 0 Ax1 By1
Точка М1(х1; у1 ) принадлежит прямой L , следовательно:
Ax1 By1 C 0
Ax By C
1
1
n M1M0 Ax0 By 0 C
n d Ax0 By0 C
n M1M0 n d
Ax0 By 0 C
d
n
d
Ax0 By 0 C
A2 B 2

16. Биссектриса углов между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:
L1 :
A1x B1y C1 0
L2 :
A2 x B2 y C2 0
L2
M(x; y)
Если точка M(x; y) лежит на биссектрисе
угла между прямыми, то расстояние от
точки М до прямой L1 равна расстоянию до
прямой L2: d1 d2
d1
A1x B1y C1
A B
2
1
2
1
d2
d2
A2 x B2 y C2
A22 B22
A1A
x1
y1y C
xB
1B
1C1 AA2 x2 x BB2 y2 y CC2 2
2 2
2 2
A1A 1 B
AA2222 BB2222
1B1
d1
L1

17. Деление отрезка в заданном отношении

Разделить отрезок М1М2 в заданном отношении λ > 0 значит найти
на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство:
M1M
MM2
или M1M MM2
M
M1
Пусть M1(x1; y1) и M2(x2; y2). Найдем координаты точки М.
M1M MM2
В координатной форме:
M1M { x x1; y y 1 }
x x1 ( x2 x )
y y1 ( y 2 y )
x (1 ) x2 x1
y (1 ) y 2 y1
MM 2 { x 2 x; y 2 y }
x x2 x x1
y y y y
2
1
x1 x 2
x
1
y 1 y 2
y
1
M2

18. Пример

Даны вершины треугольника: А(1; 1); В(10; 13); С(13; 6)
Найти: Уравнения высоты, медианы и биссектрисы,
проведенных из вершины А.
1. Уравнение высоты:
x 10 y 13
(ВС):
13 10 6 13
x 10 y 13
3
7
А
7 x 70 3 y 39 7 x 3 y 109 0
N {7; 3}
(АН):
q {7; 3}
3 x 7y 4 0
x 1 y 1
7
3
В
N q
Н
С
3 x 3 7y 7

19. Пример

В
2. Уравнение медианы:
т. М:
xM
yM
BM
MC
x B xC
2
1
А
10 13
11.5
2
y B yC
13 6
9 .5
2
2
x 1
y 1
11.5 1 9.5 1
8.5 x 10.5 y 2 0
M (11.5; 9.5)
С
x 1 y 1
10.5 8.5
М
8.5 x 8.5 10.5 y 10.5
17 x 21y 4 0

20. Пример

В
4. Уравнение биссектрисы:
(АВ):
x 1 y 1
10 1 13 1
x 1 y 1
9
12
12x 9 y 3 0
12 x 12 9 y 9
4x 3y 1 0
x 1 y 1
x 1 y 1
(АС):
13 1 6 1
12
5
4 x 3y 1
5 x 12y 7
4 ( 3)
5 ( 12)
2
К
С
5 x 12y 7 0
5 x 5 12y 12
2
А
2
2
4 x 3y 1
5 x 12y 7
5
13
52x 39y 13 25 x 60y 35

21. Пример

Для биссектрисы внутреннего угла треугольника должно
выполняться условие:
k AB k AK k AC
или
4x 3y 1 0
5 x 12y 7 0
k AC k AK k AB
4
1
y x
3
4
5
7
y x
12
12
4
3
5
k AC
12
k AB
27 x 21y 48 0
9
16
9
y
x
9 x 7 y 16 0
k AK
7
9
7
2) 52 x 39 y 13 (25 x 60 y 35) 77 x 99 y 22 0
1) 52 x 39 y 13 25 x 60 y 35
7 x 9y 2 0
7
2
y x
9
9
7
k AK
9
5 7 4
12 9 3