Прямая на плоскости
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой
Уравнение прямой в отрезках
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пример
Пример
Угол между двумя прямыми
Угол между двумя прямыми
Угол между двумя прямыми
Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой
Биссектриса углов между прямыми
Деление отрезка в заданном отношении
Пример
Пример
Пример
Пример
820.50K
Категория: МатематикаМатематика

Прямая на плоскости

1. Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой
Уравнение прямой в отрезках
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Угол между двумя прямыми
Расстояние от точки до прямой
Биссектриса углов между прямыми
Деление отрезка в заданном отношении

2. Общее уравнение прямой

Уравнение вида:
Ax By C 0
с произвольными коэффициентами А; В; С такими , что А и В не
равны нулю одновременно, называется общим уравнением
прямой.
М0(х0; у0 )
Теорема
Вектор
Если точка М0(х0; у0 ) принадлежит прямой, то
общее уравнение прямой превращается в
тождество: Ax0 By 0 C 0
Пусть задана прямая:
Ax By C 0
n A; B будет ортогонален этой прямой.
Доказательство:
Пусть некоторая точка М0(х0; у0 ) принадлежит прямой:
Ax0 By 0 C 0
(2)
(1)

3. Общее уравнение прямой

Найдем разность уравнений (1) и (2):
Ax By C 0
Ax0 By 0 C 0
A x x0 B y y 0 0 (3)
n
М (х; у )
М0(х0; у0 )
Пусть точки М0(х0; у0 ) и М (х; у ) лежат на данной прямой.
Рассмотрим векторы:
n A; B и M0M x x0 ; y y 0
Равенство (3) представляет собой скалярное произведение этих
векторов, которое равно нулю:
n M0M 0
n M0 M
Таким образом, вектор n перпендикулярен прямой и называется
нормальным вектором прямой.
Равенство (3) также является общим уравнением прямой

4. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой называется полным, если все
коэффициенты А, В, и С отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.
Виды неполных уравнений:
1)
C 0;
Ax By 0
2)
B 0;
Ax C 0
3)
A 0;
By C 0
4)
B C 0;
Ax 0 x 0
5)
A C 0;
By 0 y 0
y
0
х

5. Уравнение прямой в отрезках

Рассмотрим полное уравнение прямой:
Ax By C 0
x
y
C C 1
A
B
C
Обозначим:
a
A
Ax By C
C
b
B
Получим:
Ax By
1
C C
x y
1
a b
y
Уравнение в отрезках
Уравнение в отрезках
используется для построения
прямой, при этом a и b – отрезки,
которые отсекает прямая от осей
координат.
b
0
a
х

6. Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой,
называется направляющим вектором этой прямой.
Требуется найти уравнение прямой, проходящей через заданную
точку М0(х0; у0 ) и параллельно заданному вектору q l; m
Очевидно, что точка М (х; у ) лежит на
прямой, только в том случае, если
векторы
q l; m
и
M 0 M x x0 ; y y0
q
М (х; у )
М0(х0; у0 )
коллинеарны.
По условию коллинеарности получаем:
x x0
y y0
l
m
Каноническое уравнение
прямой

7. Каноническое уравнение прямой

Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от
друга точки: М1(х1; у1 ) и М2(х2; у2 ).
q
М2(х2; у2 )
М1(х1; у1 )
Тогда в качестве направляющего вектора в каноническом
уравнении можно взять вектор:
q M1M 2 x2 x1; y 2 y 1
x x1
y y1
y 2m
y1
x2 l x1
Уравнение прямой,
проходящей через две
заданные точки

8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если прямая не параллельна оси OY и имеет направляющий
вектор q l; m , то угловой коэффициент k этой прямой
равен тангенсу угла наклона прямой к оси OX.
y
mq
0
m
k tg
l
l
x x0
y y0
l
m
х
Уравнение прямой с
угловым коэффициентом
m
y y0 k ( x x0 )
l
y y0 kx kx0 y kx yb0 kx0
Уравнение прямой с
=b
угловым
коэффициентом

9. Пример

Прямая проходит через точку М(1; 2 ) и имеет направляющий
вектор: q { 1; 3}
Написать: каноническое, общее уравнение прямой, уравнение
прямой в отрезках, уравнение с угловым коэффициентом.
Найти нормальный вектор прямой, отрезки, которые отсекает
прямая от осей координат и угол, который составляет прямая с
осью OX.
1. Каноническое уравнение:
2. Общее уравнение:
3x y 5 0
x 1 y 2
1
3
N {3;1}
x 1 y 2
1
3
3 ( x 1) ( y 2)

10. Пример

3. Уравнение в отрезках: 3 x y 5 0
3x y
1
5 5
x y
1
5
5
3
a
5
3
4. Уравнение с угловым коэффициентом:
3x y 5
b 5
3x y 5 0
y 3 x 5
y
b
М
q
N
0
a
х
k tg 3

11. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:
L1 :
L2 :
A1x B1y C1 0
A2 x B2 y C2 0
L2
Угол между этими прямыми
определяется как угол между
нормальными векторами к этим прямым:
n1 A1;B1
n2
n1
n2 A2 ;B2
n1 n2
cos cos(n1; n2 )
n1 n2
A1 A2 B1 B2
A12 B12 A22 B22
A1 A2 B1 B2 0
L1 L2
A1 B1
A2 B2
L1 ll L2
L1

12. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:
L1 :
L2 :
x x1 y y 1
l1
m1
x x2 y y 2
l2
m2
L2
q2
Угол между этими прямыми определяется
как угол между направляющими векторами
к этим прямым: q1 l1;m1
q2 l 2 ;m2
cos cos(q1; q2 )
l1 l 2 m1 m2 0
l1 m1
l 2 m2
q1 q2
q1 q2
q1
l1 l 2 m1 m2
l12 m12 l 22 m22
L1 L2
L1 ll L2
L1

13. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами:
y
L
L1 :
y k1x b1
L2 :
y k2 x b2
2
2 1
k1 tg 1
1
k2 tg 2
2
0
tg 2 tg 1
k 2 k1
tg tg ( 2 1 )
1 tg 2 tg 1
1 k 2 k1
k1 k2 1
k1 k2
L1 L2
L1 ll L2
х
L1

14. Расстояние от точки до прямой

Пусть необходимо найти расстояние от точки М0(х0; у0 ) до
прямой, заданной общим уравнением: Ax By C 0
М0(х0; у0 )
n
Пусть М1(х1; у1 ) – основание
перпендикуляра, опущенного из
точки М0 на прямую L.
d
М1(х1; у1 )
d M1M0 x0 x1; y 0 y1
L
Найдем скалярное произведение векторов
n A; B и M1M0
n M1M0 n M1M0 cos
0
или
cos 1
n M1M0 n M1M0 n d
Найдем скалярное произведение в координатной форме:
n M1M0 A( x0 x1 ) B( y 0 y1 ) Ax0 Ax1 By 0 By1

15. Расстояние от точки до прямой

Ax0 By 0 Ax1 By1
Точка М1(х1; у1 ) принадлежит прямой L , следовательно:
Ax1 By1 C 0
Ax1 By1 C
n M1M0 Ax0 By 0 C
n M1M0 n d
Ax0 By 0 C
d
n
n d Ax0 By0 C
d
Ax0 By 0 C
A2 B 2

16. Биссектриса углов между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:
L1 :
A1x B1y C1 0
L2 :
A2 x B2 y C2 0
L2
M(x; y)
Если точка M(x; y) лежит на биссектрисе
угла между прямыми, то расстояние от
точки М до прямой L1 равна расстоянию до
прямой L2: d1 d2
d1
A1x B1y C1
A B
2
1
2
1
d2
d2
A2 x B2 y C2
A22 B22
A1A
x1
y1y C
xB
1B
1C1 AA2 2xx BB2 2yy CC2 2
2 2
2 2
22
22
A1A 1 B
A
B
1B1
A2 2 B2 2
d1
L1

17. Деление отрезка в заданном отношении

Разделить отрезок М1М2 в заданном отношении λ > 0 значит найти
на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство:
M1M
MM2
или M1M MM2
M
M1
Пусть M1(x1; y1) и M2(x2; y2). Найдем координаты точки М.
M1M MM2
В координатной форме:
M1M { x x1; y y 1 }
x x1 ( x2 x )
y y1 ( y 2 y )
x (1 ) x2 x1
y (1 ) y 2 y1
MM 2 { x2 x; y 2 y }
x x2 x x1
y y 2 y y1
x1 x 2
x
1
y 1 y 2
y
1
M2

18. Пример

Даны вершины треугольника: А(1; 1); В(10; 13); С(13; 6)
Найти: Уравнения высоты, медианы и биссектрисы,
проведенных из вершины А.
1. Уравнение высоты:
x 10 y 13
(ВС):
13 10 6 13
x 10 y 13
3
7
А
7x 70 3y 39 7x 3y 109 0
N {7; 3}
(АН):
q {7; 3}
3 x 7y 4 0
x 1 y 1
7
3
В
N q
Н
С
3 x 3 7y 7

19. Пример

В
2. Уравнение медианы:
т. М:
BM
MC
xM
x B xC
2
yM
y B yC
2
1
А
10 13
11.5
2
M (11.5; 9.5)
13 6
9.5
2
x 1
y 1
11.5 1 9.5 1
8.5 x 10.5y 2 0
x 1 y 1
10.5 8.5
М
С
8.5x 8.5 10.5y 10.5
17x 21y 4 0

20. Пример

В
4. Уравнение биссектрисы:
(АВ):
x 1 y 1
10 1 13 1
4 x 3y 1 0
x 1 y 1
(АС):
13 1 6 1
4 ( 3)
2
2
А
x 1 y 1
12
5
К
С
5x 12y 7 0
5 x 5 12y 12
12x 9y 3 0
12x 12 9y 9
4 x 3y 1
x 1 y 1
9
12
5 x 12y 7
5 ( 12)
2
2
4 x 3y 1
5 x 12y 7
5
13
52x 39y 13 25x 60y 35

21. Пример

Для биссектрисы внутреннего угла треугольника должно
выполняться условие:
k AB k AK k AC
или
4 x 3y 1 0
5 x 12y 7 0
k AC k AK k AB
4
1
y x
3
4
5
7
y x
12
12
4
3
5
12
k AB
k AC
27 x 21y 48 0
9
16
9
y
x
9 x 7y 16 0
k AK
7
9
7
2) 52x 39y 13 (25 x 60y 35) 77 x 99y 22 0
1) 52x 39y 13 25 x 60y 35
7 x 9y 2 0
7
2
y x
9
9
k AK
7
9
5 7 4
12 9 3
English     Русский Правила