План лекции
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой
Уравнение прямой в отрезках
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пример
Пример
Угол между двумя прямыми
Угол между двумя прямыми
Угол между двумя прямыми
Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой
Биссектриса углов между прямыми
Деление отрезка в заданном отношении
Пример
Пример
Пример
Пример
1.68M
Категория: МатематикаМатематика

Уравнение прямой на плоскости

1.

Лектор Буганова С.Н.
Уравнение
прямой на
плоскости.
Дисциплина Математика 1
Лекция 4
2016-17 учебный год

2. План лекции

Общее уравнение прямой
Уравнение прямой в отрезках
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Угол между двумя прямыми
Расстояние от точки до прямой
Биссектриса углов между прямыми
Деление отрезка в заданном отношении

3. Общее уравнение прямой

Уравнение вида: Ax By C 0
с произвольными коэффициентами А; В; С такими , что А и В не
равны нулю одновременно, называется общим уравнением
прямой.
Вектор n A; B
нормальным.
ортогонален этой прямой и называется

4. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой называется полным, если все
коэффициенты А, В, и С отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.
Виды неполных уравнений:
1)
C 0;
Ax By 0
2)
B 0;
Ax C 0
3)
A 0;
By C 0
4)
B C 0;
Ax 0 x 0
5)
A C 0;
By 0 y 0
y
0
х

5. Уравнение прямой в отрезках

Рассмотрим полное уравнение прямой:
Ax By C 0
x
y
C C 1
A
B
C
Обозначим:
a
A
Ax By C
C
b
B
Уравнение в отрезках
Уравнение в отрезках
используется для построения
прямой, при этом a и b – отрезки,
которые отсекает прямая от осей
координат.
Получим:
y
Ax By
1
C C
x y
1
a b
b
0
a
х

6. Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой,
называется направляющим вектором этой прямой.
Требуется найти уравнение прямой, проходящей через заданную
точку М0(х0; у0 ) и параллельно заданному вектору q l; m
Очевидно, что точка М (х; у ) лежит на
прямой, только в том случае, если
векторы
q l; m
и
q
M 0 M x x0 ; y y0
М (х; у )
М0(х0; у0 )
коллинеарны.
По условию коллинеарности получаем:
x x0
y y0
l
m
Каноническое уравнение
прямой

7. Каноническое уравнение прямой

Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от
друга точки: М1(х1; у1 ) и М2(х2; у2 ).
q
М2(х2; у2 )
М1(х1; у1 )
Тогда в качестве направляющего вектора в каноническом
уравнении можно взять вектор:
q M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1
x x1
y y1
y 2m
y1
x 2 l x1
Уравнение прямой,
проходящей через две
заданные точки

8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если прямая не параллельна оси OY и имеет направляющий
вектор q l; m , то угловой коэффициент k этой прямой
равен тангенсу угла наклона прямой к оси OX.
y
m q
0
m
k tg
l
l
x x0
y y0
l
m
х
Уравнение прямой с угловым
коэффициентом
m
y y0 k ( x x0 )
l
y y0 kx kx0 y kx yb0 kx0
Уравнение прямой с
=b
угловым
коэффициентом

9. Пример

q { 1;3}x 1 y3 2x
1
y
2
3
(
x
1
)
(
y
2
)
3x y 5 0N
{;1
}
Пример
Прямая проходит через точку М(1; 2 ) и имеет направляющий
вектор:
Написать: каноническое, общее уравнение прямой, уравнение
прямой в отрезках, уравнение с угловым коэффициентом.
Найти нормальный вектор прямой, отрезки, которые отсекает
прямая от осей координат и угол, который составляет прямая с
осью OX.
1. Каноническое уравнение:
2. Общее уравнение:

10. Пример

3
x
y
5
0
3
x
y
5
x
35x y 1
1
a
b
5
5
3
3
3
x
y
5
0
y
k
t
g
3
qN
Пример
3. Уравнение в отрезках:
4. Уравнение с угловым коэффициентом:
y
b
М
0
a
х

11. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:
L1 :
L2 :
A1x B1y C1 0
A2 x B2 y C2 0
Угол между этими прямыми
определяется как угол между
нормальными векторами к этим прямым:
n1 A1;B1
n2
n1
L2
n2 A2 ;B2
n1 n2
cos cos( n1; n2 )
n1 n2
A1 A2 B1 B2 0
A1 B1
A2 B2
A1 A2 B1 B2
A12 B12 A22 B22
L1 L2
L1 ll L2
L1

12. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:
L1 :
L2 :
x x1 y y 1
l1
m1
x x2 y y 2
l2
m2
q2
Угол между этими прямыми определяется
как угол между направляющими векторами
q2 l 2 ;m2
к этим прямым: q1 l1;m1
q1 q2
cos cos(q1; q2 )
q1 q2
l1 l 2 m1 m2 0
l1 m1
l 2 m2
L2
q1
l1 l 2 m1 m2
l12 m12 l 22 m22
L1 L2
L1 ll L2
L1

13. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами:
y
L2
L1 :
y k1x b1
L2 :
y k 2 x b2
2 1
k1 tg 1
1
k 2 tg 2
2
0
tg 2 tg 1
k 2 k1
tg tg ( 2 1 )
1 tg 2 tg 1
1 k 2 k1
k1 k 2 1
k1 k 2
L1 L2
L1 ll L2
х
L1

14. Расстояние от точки до прямой

Пусть необходимо найти расстояние от точки М0(х0; у0 ) до
прямой, заданной общим уравнением: Ax By C 0
М0(х0; у0 )
n
Пусть М1(х1; у1 ) – основание
перпендикуляра, опущенного из
точки М0 на прямую L.
d
М1(х1; у1 )
d M1M 0 x0 x1; y 0 y 1
L
Найдем скалярное произведение векторов
n A; B и M1M 0
n M1M 0 n M1M 0 cos
0
или
n M1M 0 n M1M 0
cos 1
n d
Найдем скалярное произведение в координатной форме:
n M1M 0 A( x0 x1 ) B( y 0 y 1 ) Ax 0 Ax1 By 0 By 1

15. Расстояние от точки до прямой

Ax 0 By 0 Ax1 By 1
Точка М1(х1; у1 ) принадлежит прямой L , следовательно:
Ax1 By 1 C 0
Ax1 By 1 C
n M1M 0 Ax 0 By 0 C
n M1M 0 n d
Ax 0 By 0 C
d
n
n d Ax 0 By 0 C
d
Ax 0 By 0 C
A2 B 2

16. Биссектриса углов между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:
L2
L1 :
A1x B1y C1 0
L2 :
A2 x B2 y C2 0
Если точка M(x; y) лежит на биссектрисе
угла между прямыми, то расстояние от
точки М до прямой L1 равна расстоянию до
прямой L2: d1 d 2
d1
A1x B1y C1
A B
2
1
2
1
d2
A2 x B2 y C2
A22 B22
A1A
x1
y1y C
xB
1B
1C1 AA2 2xx BB2 y2 y CC2 2
2 2
2 2
A1A 1 B
AA2222 BB2222
1B1
d2
M(x; y)
d1
L1

17. Деление отрезка в заданном отношении

Разделить отрезок М1М2 в заданном отношении λ > 0 значит найти
на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство:
M1M
MM 2
или M1M MM 2
M
M1
Пусть M1(x1; y1) и M2(x2; y2). Найдем координаты точки М.
M1M MM 2
В координатной форме:
M1M { x x1; y y 1 }
x x1 ( x 2 x )
y y1 (y 2 y )
x (1 ) x 2 x1
y (1 ) y 2 y 1
MM 2 { x 2 x; y 2 y }
x x 2 x x1
y y 2 y y 1
x1 x 2
x
1
y 1 y 2
y
1
M2

18. Пример

N
q
x
1
0
y
1
3
x
1
0
y
1
3
3
6
3
7
7
9
7
0
9
N
{3x;q
} 7
x
1
y
1
3x 7y
{y 7
;43
}073
Пример
Даны вершины треугольника: А(1; 1); В(10; 13); С(13; 6)
Найти: Уравнения высоты, медианы и биссектрисы,
проведенных из вершины А.
1. Уравнение высоты:
В
А
(ВС):
Н
С
(АН):

19. Пример

B
M
1
C
xMM8x .5 yx1BB 210C9Cy.5y 120 2
36 9x10 .51.5
(
.y8. 517x
M
1
;2y849
5
) x0 .5 10y 10.5
Пример
В
2. Уравнение медианы:
т. М:
А
М
С

20. Пример

x
1
y
1
x
1
y
1
0
3
9
2
2
3
0
14452xx2 33(yy )1212 92 0 5y63x9 2 11
x
1
y
1
2
5
5
7
0
2(y3 )72 2546x0 53 y1 5x 123y 7
Пример
В
4. Уравнение биссектрисы:
(АВ):
А
К
(АС):
С

21. Пример

k54xAB 9 5322xyA K 3197 kyA0C6 13
k
k
A
C
A
K
A
B
4
4
1
k
y
x
A
B
3
3
5
7
5
A
C
1
2
2
1
2
2
7
x
y
4
8
0
2
x
6
0
y
5
9
1
6
9
x
0
k
A
K
7
7
2
(
5
3
)
2
5
7
4
7xy2 y9AK91 93
Пример
Для биссектрисы внутреннего угла треугольника должно
выполняться условие:
или
1)
2)

22.

Задание на СРС
1. Уравнение прямой в полярной системе
координат [1;2;3] .
2. Приведение общего уравнения первой
степени к нормальному виду. [1;5;6]
Задание на СРСП
1. ИДЗ-3.2. [1. стр. 110].

23.


Қазақша
Русский
1.
Теңдеу
Уравнение
2.
Координат жүесі
Система координат
3.
Бұрыштық
Угловой
English
Equation
System of coordinates
Angular

24.

Основная
1. А.П. Рябушко. Индивидуальные задания по высшей
математике,т.1. - Мн.: Выш. Школа, 2011.
2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и
задачах: Учебное пособие для втузов. - М.: Оникс, 2007.
Дополнительная
3. Буганова С.Н. Математика для технических специальностей с
применением прикладных программ. - Алматы: КазГАСА, 2015,
с.108.
4. Сыдыкова Д.К. «Курс Математики- I», Модуль I, II для
дистанционного обучения. Электронный учебник.-Алматы:
КазГАСА, 2012.
5. www.studentlibrary.ru
6. http://sferaznaniy.ru/vysshaya-matematika.
English     Русский Правила