§23. Определенный интеграл

1.

§23. Определенный интеграл
п.1. Условия существования
определенного интеграла.
Теорема 1. (Необходимое условие
интегрирования)
Если функция
интегрируема на
отрезке
, то она ограничена на этом
отрезке.

2.

Доказательство (методом от противного).
Пусть функция
отрезке [ a ; b ] .
не ограничена на
a x 0 x1 ... x i 1 x i ... x n 1 x n b
функция y f ( x ) не ограничена хотя бы
на одном отрезке [ x i 1 ; x i ].
z i [ x i 1 ; x i ], что произведение f ( z i ) x i
будет сколь угодно
большим.

3.

y
y f ( x)
O
a
xi 1 zi
xi
b
x
Значит, не будет существовать конечный
предел последовательности интегральных
сумм, т.е. функция y f ( x ) не интегрируема
на отрезке [ a ; b ] , что противоречит условию
теоремы.

4.

Замечание. Необходимое условие не является
достаточным.
Пример. Функция Дирихле
0, x иррациональное число,
D ( x)
1, x рациональное число;
является ограниченной на любом
отрезке [ a ; b ] , но не интегрируемой.

5.

D ( x) 1
x [a; b]
a x 0 x1 ... x i 1 x i ... x n 1 x n b
z i [ x i 1 ; x i ] иррациональное число i 1, n :
n
S n D ( z i ) xi 0
i 1
z i [ x i 1 ; x i ] рациональное число i 1, n :
n
S n D ( z i ) xi b a
1
i 1

6.

lim S n не существует
n
функция D ( x ) не интегрируема на
отрезке [ a ; b ] .

7.

п.2. Интеграл с переменным верхним
пределом.
Если функция y f ( x ) интегрируема на
отрезке [ a ; b ] , то она интегрируема на любом
отрезке [ a ; x ] [ a ; b ] , т.е. существует
x
f (t )dt.
a

8.

x [ a ; b ] поставим в соответствие число,
равное
x
f
(
t
)
dt
.
a
Таким образом, на [ a ; b ] будет определена
функция
x
( x ) f (t ) dt
a
─ интеграл с переменным верхним пределом.

9.

Геометрический смысл интеграла с
переменным верхним пределом
Если f ( x ) 0 x [ a ; b ] , то
( x ) S ( x ).
y f ( x)
y
S ( xS) ( x )
O
a
x
x
b
x

10.

Теорема 2. (Основное свойство интеграла с
переменным верхним пределом)
Если функция y f ( x ) непрерывна на
отрезке [ a ; b ], то функция
x
( x ) f (t ) dt
a
является дифференцируемой на [ a ; b ],причем
'
' ( x ) f (t ) dt f ( x ).
a
x

11.

Замечание. Функция
x
( x ) f (t ) dt
a
является первообразной
для функции y f ( x ) на ( a ; b ] .

12.

Доказательство теоремы 2.
( x x) ( x)
' ( x ) lim
lim
x 0
x 0 x
x
x x
x
a
a
x
x x
x
a
x
a
f (t )dt f (t )dt
f (t ) dt
f (t )dt f (t ) dt

13.

x x
f
(
t
)
dt
f
(
c
)
x
,
x
Теорема 1 §14
c [ x; x x ]

14.

f (c ) x
lim
lim
f ( x)
x 0 x
x 0
x
lim c x
x 0
c [ x; x x ]
'(x) f (x)

15.

п.3. Вычисление определенного
интеграла.
Теорема 3.
Пусть
функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] ;
F ( x ) ─ одна из первообразных функции f ( x ) .
Тогда
справедлива формула Ньютона–Лейбница
b
a
b
f ( x ) dx F ( x ) a F (b ) F ( a ).

16.

Доказательство.
F ( x ) ─ первообразная функции f ( x )
x
( x ) f (t ) dt ─ первообразная функции f ( x )
a
Замечание
( x ) F ( x ) C , C const
Теорема 1 §12

17.

x
f (t )dt F ( x) C
a
x a
a
f (t )dt F (a ) C
a
0 F (a ) C
C F (a )

18.

x
f (t )dt F ( x) C
a
x b
b
C F (a )
f (t )dt F (b) F (a )
a

19.

Пример.
0
dx
x 2 22xx 2
1
0
dx
1 ( x 1)
2
1
0
arctg ( x 1) 1
arctg 0 arctg ( 1)
4

20.

Теорема 4. (О замене переменной в
определенном интеграле)
Пусть
функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] ;
функция x (t ) имеет непрерывную
производную на отрезке [ ; ];
E ( ) [ a ; b ]; a ( ); b ( ).
Тогда справедлива формула
b
a
f
(
x
)
dx
f
(
(
t
))
'
(
t
)
dt
.
x ( t )

21.

Доказательство.
b
Теорема 3
f ( x)dx F (b) F (a )
a
F ( x ) ─ первообразная функции f ( x )

22.

G ( t ) F ( ( t ))
G ' ( t ) F ' ( ( t )) ' ( t ) f ( ( t )) ' ( t )
Теорема 4 §8
F ( x ) ─ первообразная функции f ( x )
G (t ) ─ первообразная функции f ( ( t )) ' ( t )

23.

Теорема 3
f
(
(
t
))
'
(
t
)
dt
G
(
)
G
(
)
F ( ( )) F ( ( )) F ( b ) F ( a )

24.

Теорема 5.
Пусть
функции u u ( x ) и v v ( x ) имеют
непрерывные производные на отрезке [ a ; b ].
Тогда справедлива формула
b
a
b
udv uv a
b
vdu.
a

25.

Доказательство.
( uv )' u ' v uv '
uv ─ первообразная функции u ' v uv '
Теорема 3
b
a
b
u ' ( x )v ( x ) u ( x )v ' ( x ) dx u ( x )v ( x ) a
du u ' ( x ) dx dv v ' ( x ) dx

26.

b
b
a
a
vdu
b
a
b
udv uv a
b
udv uv a
b
vdu
a

27.

Пример.
uu
xx
1
xx
1
dv e dx
x1
x
x
xe
dx
xe
e
dx
0
du
dx
0
0
0
v e
x
e 0 e
1
x1
0
e ( e 1) 1