Уравнение плоскости

1.

2.

Уравнение плоскости
10.4.19 - выводить общее уравнение плоскости
(ax+by+cz+d= 0)
через вектор нормали и точку,
лежащую на этой плоскости;

3.

Плоскость в пространстве задается
уравнением ax+by+cz+d=0, где a, b, c, d
– действительные числа, причем a, b, c
одновременно не равны нулю и
составляют координаты вектора
,
перпендикулярного этой плоскости и
называемого вектором нормали.

4.

a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 - уравнение плоскости,
проходящей через точку М0(x0; y0; z0),
перпендикулярно вектору
ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости
с нормальным вектором

5.

6.

Решение:
т.к. плоскость Oxy, на которой лежит
точка М(х0; у0; 0), перпендикулярна
оси Oz , то нормальным вектором
является
. Подставив в
уравнение плоскости данные задачи,
получим:
z=0 - уравнение плоскости Oxy.
Аналогично определяются,
y=0 - уравнение плоскости Oxz и
x=0 - уравнение плоскости Oyz.
Ответ: a) z=0 ; b) y=0 ; c) x=0 .

7.

Дано: М(-1; 2; 1)
,
Найти: уравнение плоскости
Решение:
т.к. уравнение плоскости
записывается формулой
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0, то,
подставив данные задачи, получим:
0(x+1)-5(y-2)+2(z-1)=0
-5y+2z+8=0
Ответ: -5y+2z+8=0

8.

Решение:
а) искомая плоскость параллельна Oxy,
а значит, перпендикулярна оси Oz, т.е.
является нормальным
вектором для искомой плоскости.
Значит, 0(x-1)+0(y+2)+1(z-4)=0; z=4

9.

Решение:
b) искомая плоскость параллельна Oxz,
а значит, перпендикулярна оси Oy, т.е.
является нормальным
вектором для искомой плоскости.
Значит, 0(x-1)+1(y+2)+0(z-4)=0; y=-2

10.

Решение:
c) искомая плоскость параллельна Oyz,
а значит, перпендикулярна оси Ox, т.е.
является нормальным
вектором для искомой плоскости.
Значит, 1(x-1)+0(y+2)+0(z-4)=0; x=1
Ответ: a) z=4; b) y=-2; c) x=1.

11.

1. Найдите координаты вектора нормали
для плоскости 7x+4y-9z=0
Ответ: (7; 4; -9)
2. Напишите нормальные векторы к
координатным плоскостям.

12.

Условие
Ответ
Укажите координаты точки, принадлежащие
плоскости, заданной уравнением 3x-2y+5z-10=0
(3; 2; -5)
Укажите координаты точки, принадлежащие
плоскости, заданной уравнением -3x-5y+5z+3=0
(-3; 5; -7)
Укажите координаты вектора нормали к
плоскости, заданной уравнением 3x+2y-5z+3=0
(1;-1; 1)
Укажите координаты вектора нормали к
плоскости, заданной уравнением -3x+5y-7z+1=0
(1; -1; -1)

13.

Найдите уравнение плоскости, проходящей
через точку М(7; -2; 11), с вектором
нормали
.
Напишите уравнение плоскости, которая
проходит через точку М(-1; 4; -5) и
параллельна координатной плоскости Oxy.

14.

http://ru.solverbook.com/spravochnik/reshe
nie-uravnenij/uravnenie-ploskosti/
https://www.youtube.com/watch?v=8hHbSt1
dt5Y

15.

Спасибо за внимание!