Дифференцирование явно заданных функций

1.

Дифференцирование
явно заданных
функций
1

2.

Производные и
дифференциалы
первого порядка
2

3.

Найти частные производные первого порядка функции:
К 3.1.3. f x, y sin x x 2 y .
К 3.3.1. f x, y, z xy yz zx .
К 3.13.1. Найти дифференциал функции f x, y 2 x 4 3x 2 y 2 x3 y .
К 3.14.2. Найти точки, в которых дифференциал функции f равен 0, если
f x, y, z 2 y 2 z 2 xy 2 yz 4 x 1 .
К 3.18.1. Найти дифференциал функции f в точке 1,0,1 , если f x, y, z
К 3.40.1. Найти градиент функции f x, y 1 x 2 y 3 в точке 1,1 .
x
x2 y2 z2
К 3.39.1. Найти производную функции f x, y 3x 2 5 y 2 по направлению вектора
1 1
l =
,
в точке M 1,1 .
2 2
К 3.43.1. Найти производную функции f x, y 5 x 10 x 2 y y 2 в точке M 0
по направлению вектора M 0 M , если M 0 1,2 , M 5, 1 .
f
К 3.48.1. Найти наибольшее значение
в т. M 1,1 , если f xy 2 3x4 y5 .
l
f
К 3.49.1. Найти единичный вектор l , по направлению которого
в т. M достигает
l
наибольшего значения, если f x , y x 2 xy y 2 , M 1,2 .
3

4.

Найти частные производные первого порядка функции:
К 3.1.3. f x, y sin x x 2 y .
К 3.3.1. f x, y, z xy yz zx .
4

5.

Найти частные производные первого порядка функции:
К 3.1.3. f x, y sin x x 2 y .
К 3.3.1. f x, y, z xy yz zx .
f x cos x 2 xy ,
f x y z ,
f y x 2
f y x z ,
f z y x
5

6.

К 3.13.1. Найти дифференциал функции
f x, y 2 x 3x y x y .
4
2
2
3
6

7.

К 3.13.1. Найти дифференциал функции
f x, y 2 x 3x y x y .
4
2
2
3
df 8x 6 xy 3x y dx 6 x y x dy .
3
2
2
2
3
Второй способ:
df 8x dx 6xy dx 6 x ydy 3x ydx x dy
3
2
2
2
3
7

8.

К 3.14.2. Найти точки, в которых дифференциал
функции f равен 0, если
f x, y, z 2 y 2 z 2 xy 2 yz 4 x 1 .
8

9.

К 3.14.2. Найти точки, в которых дифференциал
функции f равен 0, если
f x, y, z 2 y 2 z 2 xy 2 yz 4 x 1 .
2
y
4
2
f x y 4 0
4y z 7
f y 4 y 2 xy z 0 x
2y
4
f 2z y 0
z
y
z
2
7
7
Ответ: , 2,1 и , 2, 1 .
4
4
9

10.

К 3.18.1. Найти дифференциал функции f в точке 1,0,1 , если
x
f x, y , z 2 2 2
x y z
10

11.

К 3.18.1. Найти дифференциал функции f в точке 1,0,1 , если
x
f x, y , z 2 2 2
x y z
x y z x 2x
f x
0
2
2
2 2
x y z 1,0,1
x 2 y
1
fy
0 df 1,0,1 dz .
2
2
x 2 y 2 z 2 1,0,1
x 2z
1
f z
2
2
2 2
2
x
y
z
1,0,1
2
2
2
11

12.

К 3.40.1. Найти градиент функции f x, y 1 x 2 y 3
в точке 1,1 .
12

13.

К 3.40.1. Найти градиент функции f x, y 1 x 2 y 3
в точке 1,1 .
grad f 1,1 2 xy 3 ,3x 2 y 2
1,1
2,3
Второй способ записи:
grad f 2 xy 3 ,3 x 2 y 2
1,1
2,3 .
13

14.

К 3.39.1. Найти производную функции
f x, y 3 x 2 5 y 2
1 1
по направлению вектора l =
,
в точке M 1,1 .
2 2
14

15.

К 3.39.1. Найти производную функции
f x, y 3x 2 5 y 2
1 1
по направлению вектора l =
,
в точке M 1,1 .
2 2
f
1 1
grad f , l0 6 x,10 y
,
2 2 .
l
2 2 1,1
15

16.

К 3.43.1. Найти производную функции
f x, y 5 x 10 x 2 y y 2
в точке M 0 по направлению вектора M 0 M , если
M 0 1,2 , M 5, 1 .
16

17.

К 3.43.1. Найти производную функции
f x, y 5 x 10 x 2 y y 2
в точке M 0 по направлению вектора M 0 M , если
M 0 1,2 , M 5, 1 .
a = M 0 M 4, 3 ,
f
4 3
2
grad f , a0 5 20 xy, 10 x 2 y ,
a
5 5 1,2
4 45 3 14 138
.
5
5
17

18.

f
К 3.48.1. Найти наибольшее значение
в т. M 1,1 ,
l
если f xy 2 3x 4 y 5 .
18

19.

f
К 3.48.1. Найти наибольшее значение
в т. M 1,1 ,
l
если f xy 2 3x 4 y 5 .
2
3 5
4 4
l
=
gradf
y
12
x
y
,
2
xy
15
x
y
1,1
f
grad f
grad f , l0 grad f ,
l
grad f
1,1
11, 13 ,
grad f 290 .
19

20.

К 3.49.1.Найти единичный вектор l , по направлению
f
которого
в т. M достигает наибольшего значения, если
l
f x, y x 2 xy y 2 , M 1,2 .
20

21.

К 3.49.1. Найти единичный вектор l , по направлению
f
которого
в т. M достигает наибольшего значения, если
l
f x, y x 2 xy y 2 , M 1,2 .
grad f
l
,
grad f
gradf 2 x y, x 2 y 1,2 4,5
5
4
l
,
.
41 41
21