Статистическая физика

1.

Физика. 2 курс. 4 семестр
Специалитет
Лекция 12. Статистическая физика
Классическая статистика
В.И. Читайкин
кандидат физико-математических наук
доцент

2.

План лекции
Наименование раздела, параграфа
Номер
слайда
Введение
3
Раздел 1. Основные понятия статистической физики
4
1.1. Определение
5
1.2. Фазовое пространство
6
1.3. Фазовая траектория, фазовый портрет
7
1.3.1. Фазовый портрет (примеры-вопросы)
8
1.4. Микро- и макросостояния
10
1.5. Термодинамическая вероятность
11
1.6. Термодинамическая вероятность и энтропия
12
Раздел 2. Статистика Максвелла-Больцмана
13
2.1. Основные положения
14
2.2. Распределение Максвелла-Больцмана, свойства
15
2.3. Распределение Максвелла-Больцмана, формулы
16
2.4. Распределение Максвелла-Больцмана, графики
17
2

3.

Введение
В предыдущих шести лекциях (с 6-ой по 11-ую) рассматривались свойства атома или
простейшей молекулы как автономного, отдельного физического объекта. Неявно считалось,
что других подобных объектов не существует или, по крайней мере, их влиянием можно
пренебречь.
Но в реальности это не так: подобных друг другу объектов, например, атомов, множество
и их совокупное поведение подчиняется особым законам – законам статистической физики.
В 12-ой лекции рассматривается раздел статистической физики, основанной на
классическом подходе.
В разделе 1 даются основные принципиальные понятия статистической физики
(первоосновы): фазового пространства, термодинамической вероятности (которая совсем не
вероятность в привычном понимании) и её связи с энтропией.
Изложение материала в 1-ом разделе носит, по преимуществу, рассудительный характер,
иногда даже философский.
Раздел 2, напротив, конкретен, в нём даются «рабочие» формулы и графики для
распределения Максвелла-Больцмана для классических частиц и для его составляющих:
распределения Максвелла и распределения Больцмана по отдельности.
3

4.

Раздел 1. Основные понятия статистической физики
(первоосновы)
4

5.

1. Основные понятия статистической физики (первоосновы)
1.1. Определение
Статистическая физика – это раздел физики, изучающий свойства систем, состоящих из
огромного числа частиц, сопоставимого с числом Авогадро: ~1023 частиц в моле.
Частицы могут быть одного или нескольких типов, но, в любом случае, частиц любого типа «очень
много».
Важно, что частицы подчиняются законам классической физики.
Свойства систем, состоящих из огромного числа квантовых частиц, будут рассмотрены в следующей лекции.
Примерно так представляет статистическая
физика (и квантовая химия тоже, но не
квантовая физика(!)) наш мир.
Немного пугающе, по моему.
Частицы разных типов, их очень много.
5

6.

1. Основные понятия статистической физики (первоосновы)
1.2. Фазовое пространство
Упростим задачу.
Пусть все частицы будут одного типа и независимы, т.е. не образуют соединений друг с другом.
Полное число одинаковых частиц в системе – N штук.
Каждая частица задаётся шестью переменными:
- три координаты: {x, y, z};
обобщённо это записывается так: q= {x, y, z}, символ q – это совокупность трёх координат частицы.
- три проекции импульса: {рx, рy, рz};
обобщённо это записывается так: p = {рx, рy, рz}, символ p – это совокупность проекций импульса
частицы. (Иногда вместо импульса р говорят о скорости v = p/m.)
Каждая из шести переменных {x, y, z, рx, рy, рz} является независимой от других пяти. Значит, частица
может быть описана точкой в 6-мерном пространстве координат (три оси) и импульсов (три оси).
Все N частиц могут быть описаны точкой в 6N-мерном пространстве координат (3N осей) и
импульсов (3N осей).
Определение: 6N-мерное пространство называется фазовым пространством.
Любое состояние системы из N частиц может быть описано точкой в фазовом пространстве,
имеющем 6N измерений. Напомню, N – число частиц.
6

7.

1. Основные понятия статистической физики (первоосновы)
1.3. Фазовая траектория, фазовый портрет
Фазовая траектория – это линия в 6N-мерном пространстве, состоящая из точек, которые
представляют последовательные во времени состояния системы, т.е. 3N координат и 3N проекций
скоростей.
Другими словами: любое изменение состояния системы во времени отражается однозначно в
изменении фазовой траектории.
Фазовая траектория является своего рода фазовым «портретом»
системы.
Простейший пример: математический маятник.
Система состоит из одной частицы, движущейся вдоль одной оси X.
Нарисуйте эту ось, вспомнив, какая пространственная переменная
характеризует положение математического маятника.
Скорость маятника имеет одну проекцию на ось движения.
Значит, размерность фазового пространства – два: одна координата
(position) + одна проекция скорости (velocity).
Такую фазовую траекторию можно нарисовать на двумерной
плоскости. При этом надо помнить, что по осям отложены различные
физические величины с разной размерностью.
Фазовый потрет математического маятника – это окружность
в фазовых координатах {x, vx=px/m}.
7

8.

1. Основные понятия статистической физики (первоосновы)
1.3.1. Фазовый портрет (примеры-вопросы)
1. Нарисуйте фазовый портрет
затухающего маятника.
2. Восстановите физический процесс
по его фазовому портрету.
2.1.
2.2.
?
8

9.

1. Основные понятия статистической физики (первоосновы)
1.3.1. Фазовый портрет (к сведению)
Бывает и такое.
Эта бабочка – фазовый портрет некоторых
основных характеристик течения Эль-Ниньо
в Тихом океане, вдоль берегов Чили.
Климатические экстремумы, в частности, в
Москве зависят от того, как будет вести себя
этот ребёнок (El Niňo (исп.) – малыш, мальчик).
9

10.

1. Основные понятия статистической физики (первоосновы)
1.4. Микро- и макросостояния
Микросостояние системы – это такое состояние, которое задаётся указанием значений координат и
импульсов всех частиц, т.е. огромным числом параметров – 6N. Это – детальное описание, с максимально
возможной точностью.
Макросостояние системы – это такое состояние, которое задаётся небольшим числом параметров,
зависящих от концентрации частиц и от некоторых других усреднённых характеристик, напр., от средней
скорости частиц. К параметрам макросистемы относятся, в первую очередь, давление, температура,
объём, т.е. термодинамические параметры. Таких параметров мало.
Из-за огромной разницы в числе параметров, одно и то же макросостояние с малым числом
параметров может возникать при очень различных микросостояниях с огромным числом параметров.
Например, если две частицы (быстрая и медленная) из общего числа частиц N, столкнутся и изменят
свои скорости, то микросостояние изменится. Но макросостояние (напр., температура) – нет. Точно
также произойдёт, если частицы поменяются местами без изменения скоростей: микросостояние
изменится, но макросостояние – нет!
Вывод: одно и то же макросостояние может быть реализовано различными способами, т.е.
различным набором микросостояний.
10

11.

1. Основные понятия статистической физики (первоосновы)
1.5. Термодинамическая вероятность
Определение: термодинамическая вероятность W – это число способов, которыми может быть
реализовано макросостояние. Или: W – это число микросостояний, осуществляющих одно и то же
макросостояние.
Согласно определению, вероятность W – это число натурального ряда!
Основное свойство термодинамической вероятности: величина термодинамической вероятности
не может быть меньше 1. В системе из нескольких частиц величина W принимает значения около 10.
Очевидно, что такое поведение термодинамической вероятности противоречит классическому
представлению о вероятности, когда значение вероятности изменяется от 0 до 1.
Дополнительный материал.
Термодинамическая вероятность рассчитывается по формуле:
где N – полное число частиц в системе;
n – число микросостояний;
Пример: для N = 10 → W ~103,
Nn – число частиц в каждом микросостоянии.
для N = 106 → W ~108.
Выполните расчёты W для N = 3, 7, 12 и
числа микросостояний n = 2, 4, 6,
соответственно.
11

12.

1. Основные понятия статистической физики (первоосновы)
1.6. Термодинамическая вероятность и энтропия
Связь термодинамической вероятности W с одним из параметров макросостояния,
а именно – энтропии S, была впервые установлена Людвигом Больцманом в конце XIX века:
S = k∙lnW,
k – постоянная Больцмана.
По определению (см. предыдущий слайд): чем больше значение термодинамической
вероятности, тем больше микросостояний в системе. А это значит, что система как бы сильнее «бурлит»
микросостояниями, т.е. она более хаотична. Это утверждение справедливо при фиксированном значении N.
С ростом термодинамической вероятности W энтропия также растёт (S ~ lnW). Отсюда вывод:
энтропия является мерой неупорядоченности системы или – мерой хаоса.
Известно, что в равновесной системе с течением времени все неоднородности температуры или
давления выглаживаются, крупные микросостояния распадаются на более мелкие. Те распадаются ещё на
более мелкие вплоть до микросостояния из одной частицы. То есть общее число микросостояний растёт,
значит, растёт энтропия.
Отсюда следует принцип возрастания энтропии: все процессы в замкнутой системе ведут к
увеличению её энтропии, т.е. к хаосу.
Только выход из замкнутой системы может не позволить скатиться к бесконечному хаосу!
12

13.

Раздел 2. Статистика Максвелла-Больцмана
13

14.

2. Статистика Максвелла-Больцмана
2.1. Основные положения
Статистика Максвелла-Больцмана – это статистический метод описания системы, содержащей
«очень большое» число частиц. Частицы должны не взаимодействовать друг с другом, иметь точно
заданные значения координат и импульсов – т.е. должны подчиняться законам классической физики.
По сути, это идеальный газ, занимающий 6N-мерное фазовое пространство.
Элементарный объём такого пространства есть произведение всех элементарных объёмов по
каждой переменной:
dq∙dp = dq1∙dq2 … dq3N∙dp1∙dp2 … dp3N
всего – 6N сомножителей
Выражение dq∙dp называется фазовой ячейкой, она 6N-мерна.
Правила заполнения фазовых ячеек частицами.
1. Все размещения частиц в фазовых ячейках равновероятны.
2. Каждому распределению частиц по фазовым ячейкам соответствует одно микросостояние.
3. Перемещение частиц внутри одной фазовой ячейки не образует нового микросостояния.
4. Изменение даже двух частиц в разных фазовых ячейках соответствует новому микросостоянию.
14

15.

2. Статистика Максвелла-Больцмана
2.2. Распределение Максвелла-Больцмана, свойства
Выполнение правил заполнения фазовых ячеек (см. предыдущий слайд) и громоздкое интегрирование
позволило получить распределение частиц dn по импульсам {dp} и по координатам {dq} – распределение
Максвелла-Больцмана dn(p,q).
Это распределение можно рассматривать как произведение вероятностей двух независимых
событий: реализации значения импульса в данном «импульсном» интервале {dp} и реализации
положения молекулы в данном «координатном» интервале {dq}.
dn(p,q) = dnM(p)∙dnB(q) (Математически – это разделение переменных)
dnM(p) – распределение Максвелла: распределение числа частиц по импульсам (или по скоростям, или
по кинетической энергии)
dnB(q) – распределения Больцмана: распределение числа частиц по пространственным координатам
Вспомните курс физики за прошлый год (2-ой семестр).
Независимость распределений даёт важный результат: вероятность данного значения импульса
совершенно не зависит от положения молекулы и, наоборот, вероятность положения молекулы не
зависит от её импульса.
Это значит, что распределение частиц по импульсам (скоростям) остаётся тем же самым от точки к
точке пространства. Меняется лишь вероятность обнаружения частицы.
15

16.

2. Статистика Максвелла-Больцмана
2.3. Распределение Максвелла-Больцмана, формулы
1. Распределение Максвелла приведено в традиционной форме – по скоростям v вместо
импульсов:
(1)
n – концентрация частиц, определяемая
распределением Больцмана.
В формуле скорость обозначена курсивом: v.
2. Распределение Больцмана (зависимость от координат содержится в потенциальной энергии U(х),
например, U(х) = mgx, где х – координата, часто – высота):
(2)
3. Распределение Максвелла-Больцмана получается подстановкой формулы (2) вместо параметра n
в формуле (1).
При отсутствии внешнего поля значение потенциальной энергии U(x) = 0, значит, распределение
Больцмана dnB(q) ≡ 1; тогда распределение Максвелла-Больцмана частиц по координатам и по
скоростям становится распределением частиц только по скоростям или импульсам, т.е. «чистым»
распределением Максвелла.
16

17.

2. Статистика Максвелла-Больцмана
2.4. Распределение Максвелла-Больцмана, графики
Обычно распределение Максвелла-Больцмана показывается графически для случая U=0 (внешнее
поле отсутствует), т.е. в условиях, когда оно переходит в собственно распределение Максвелла.
Распределение Максвелла есть произведение двух алгебраических функций:
dn(v) = f(v) ~v2∙e -a∙v2
v2
На рисунке оба сомножителя показаны пунктирными линиями.
Красной сплошной линией показано произведение этих
сомножителей, т.е. само распределение Максвелла.
Максимум кривой достигается при наиболее вероятной
скорости:
vвер =
m0 – масса частицы
М – молярная масса
Самостоятельно: как соотносятся наиболее вероятная скорость и средняя
скорость частиц? Какая из них больше?
Вспомните молекулярно-кинетическую теорию газов (2-ой семестр).
На графике скорость
обозначена курсовом v.
17

18.

2. Статистика Максвелла-Больцмана
2.4. Распределение Максвелла-Больцмана, графики (продолжение)
Основные свойства распределения
Максвелла показаны графически.
vвер
1. Распределение нормировано на 1.
При варьировании параметров
распределения (температуры, массы
частиц) площадь под кривой
остаётся одной и той же, т.к.
физический смысл этой площади
– полное число частиц в систем,
которое остаётся неизменным.
18

19.

2. Статистика Максвелла-Больцмана
2.4. Распределение Максвелла-Больцмана, графики (продолжение)
2. Зависимости распределения от массы
частиц (молекул) и от температуры
показаны на качественных графиках
(а) и (b), соответственно.
Принципиальный вид распределения
не меняется.
Смещается положение максимумов
и их высота.
Площадь под всеми кривыми остаётся
неизменной.
19

20.

2. Статистика Максвелла-Больцмана
2.4. Распределение Максвелла-Больцмана, графики (продолжение)
3. Конкретный пример распределения
Максвелла для некоторых газов при
одинаковой температуре.
Попробуйте оценить, при какой температуре
приведены графики?
Подсказка: сравните (предварительно рассчитав) с
распределением молекул воздуха при определённой
температуре.
Обратите внимание на существенные
отличия в наиболее вероятных скоростях
частиц.
20

21.

Спасибо за внимание