Многоугольники. Элементы многоугольника

1.

Многоугольники.
Многоугольном называют
фигуру,составленную из
отрезков так,что:
1)смежные отрезки не
лежат на одной прямой
2)несмежные отрезки не
имеют общих точек
Автор:Колесникова Светлана 8а

2.

Элементы многоугольника.
.
СТОРОНЫ
многоугольника-это
отрезки,из которых он
составлен.
●ВЕРШИНЫ
многоугольника-это точки
A,B,C,D,E две
вершины,принадлежащие
одной
стороне,называются
соседними.
●ДИАГОНАЛЬ
многоугольника-это
отрезок,соединяющий две
не соседние вершины

3.

Ломаной называется фигура, которая состоит из точек
и соединяющих их отрезков.
Точки называются вершинами ломаной, а отрезки —
звеньями ломаной.
.
Ломаная называется
замкнутой, если у неё
концы совпадают.

4.

.
Если концы ломаной
не совпадают, то она
называется
незамкнутой.

5.

.
Ломаная называется
простой, если она не
имеет самопересечений.
Обе ломаные которые
были до этого являются
простыми.
На этом рисунке ломаная
с самопересечением.

6.

.A, B, C, D, E — вершины;
AB, BC, CD, DE, AE — стороны;
AC, AD, BE, BD, CE — диагонали.
Многоугольник, у которого все углы меньше 180°, называется выпуклым
многоугольником.
Пятиугольник ABCDE является выпуклым многоугольником.
.
.

7.

.
Многоугольник называется ВЫПУКЛЫМ,если он лежит
по одну сторону от каждой прямой,проходящей через
две его соседние вершины.Невыпуклыми являются
все остальные многоугольники.
●.

8.

Определение : Правильный многоугольник – это
выпуклый многоугольник, у которого все стороны и
углы равны.
Любой многоугольник
●Определение : Периметр
разделяет плоскость на две
многоугольника – сумма
области: внутреннюю и
длин сторон многоугольника.
внешнюю.
● Внутреннюю область также
относят к многоугольнику.
●Многоугольники еще иногда
называют n-угольниками, чтобы
подчеркнуть, что
рассматривается общий случай
наличия какого-то неизвестного
количества углов (n штук).

9.

Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого
многоугольника (n-угольника).
, где – количество его углов (сторон).
.
Из вершины проведем все
возможные диагонали. Они делят nугольник на треугольника, т.к. каждая
из сторон многоугольника образует
треугольник, кроме сторон,
прилежащих к вершине . Легко видеть
по рисунку, что сумма углов всех этих
треугольников как раз будет равна
сумме внутренних углов n-угольника.
Поскольку сумма углов любого
треугольника – , то сумма внутренних
углов n-угольника:
, что и требовалось доказать.

10.

Возможно и другое доказательство этой теоремы.
Изобразим аналогичный n-угольник на Рис. 5 и
соединим любую его внутреннюю точку со всеми
вершинами.
.
Мы получили разбиение n-угольника
на n треугольников (сколько сторон,
столько и треугольников). Сумма всех
их углов равна сумме внутренних
углов многоугольника и сумме углов
при внутренней точке, а это угол .
Имеем:
, что и требовалось доказать.
Доказано.
По доказанной теореме видно, что
сумма углов n-угольника зависит от
количества его сторон (от n).
Например, в треугольнике , а сумма
углов . В четырехугольнике , а сумма
углов – и т.д.