Лекция по линейной алгебре

1.

Лекция по линейной Алгебре
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦ.
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ И ВЕКТОРАМИ
1. Матрицы
2. Виды матриц. Векторы
3. Равенство матриц
4. Линейные операции над матрицами
5. Умножение матриц
6. Свойства умножения матриц

2.

1. Матрицы
Матрицей называется множество чисел,
образующих
прямоугольную
таблицу,
которая содержит m строк и n столбцов.
Для
записи
матрицы
используется
следующее обозначение:
Для любого элемента , первый индекс i
означает номер строки, а второй индекс j номер столбца. Сокращенно прямоугольную
матрицу типа можно записать так: A =( ),
где i =1, 2, ..., m; j =1, 2, ..., n.

3.

2. Виды матриц. Векторы
Если число строк матрицы не равно числу
столбцов ( ), то матрица называется
прямоугольной. Таковы, например, матрицы
A=
a11 a12
a21 a22 ,
a31 a32
B=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a a a
31 32 33
a a a
41 42 43
Если число строк равно числу столбцов (m
= n), то матрица называется квадратной.
Например, квадратными являются матрицы
a11 a12 a13
a11 a12
, B = a21 a22 a23
A =
a21 a22
a a a
31 32 33
Матрица, все элементы которой равны
нулю, называется
нулевой матрицей и
обозначается так О = 00 00 00 .
0 0 0

4.

3. Равенство матриц
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк m и одинаковое число столбцов n и их
соответствующие элементы равны. Так, матриц
a11 a12 a13
a21 a22 a23
A =
b11 b12 b13
b21 b22 b23
и В =
a11 b11 , a12 b12 , a13 b13 , a21 b21 , a22 b22 , a23 b23 .
Равные матрицы обязательно имеют одно и то же
строение: либо обе они прямоугольные типа , либо
квадратные одного и того же порядка n.
Если в матрице переставить строки со столбцами, получим
матрицу, которую будем называть транспонированной А = 17 62
матрицей.
5 3
4
9 ;
0
1 7 5
В = 2 6 3 .
4 9 0
Например, матрицы А и В являются транспонированными
В том случае, когда матрица состоит из одной строки
(матрица-строка), т. е. B= b b b b ,
B= , транспонированная матрица является матрицейстолбцом: b
1
1
b
Bт = 2 .
b
3
b4
2
3
4

5.

4. Линейные операции над матрицами
Суммой матриц А и В называют такую матрицу, элементы
которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и
В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое
строение: или прямоугольные типа , или квадратные порядка n.
a11 a12 a13
b11 b12 b13
a a a
31 32 33
b b b
31 32 33
Пусть A = a21 a22 a23 , B = b21 b22 b23 .
Тогда сумма матриц С = A+B имеет вид
a11 b11 a12 b12 a13 b13
C = a21 b21 a22 b22 a23 b23 .
a b a b a b
31
32
32
33
33
31
Мы видим, что сложение матриц сводится непосредственно к
сложению их элементов, являющихся числами. Поэтому на сложение
матриц распространяются важнейшие свойства чисел:
1) переместительный закон сложения: А+В=В+А, где А и В - либо
квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы
одного типа ;
2) сочетательный закон сложения (A+В)+С=A+(B+С), где А, В, С - либо
квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы
одного типа .
3) поглощательный закон сложения А+0=А, т. е. существует такая
нулевая матрица (того же порядка или типа), что ее сумма с матрицей
А любого типа равна матрице А.

6.

Произведением матрицы А на число k
называется такая матрица kA, каждый
элемент которой равен kaij, т. е. если
ka ka ka
, то кА = ka ka ka .
11
12
21
22
13
23
ka ka ka
31 32 33
Умножение матрицы на число сводится к
умножению на это число всех элементов
матрицы.

7.

5. Умножение матриц
Рассмотрим умножение квадратных матриц второго
порядка.
a
b
a
b
Пусть А =
11
a21
, В =
a22
12
11 12
b21 b22
Произведением этих матриц называется матрица
a11b11 a12b21 a11b12 a12b22
.
a21b11 a22b21 a21b12 a22b22
С = АВ =
Чтобы найти элемент первой строки и первого
столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой
строки матрицы А (т. е. a и a ) умножить на
соответствующий элемент первого столбца матрицы
В (т.е. b и b ) и полученные произведения сложить;
чтобы найти элемент первой строки и второго
столбца матрицы С, нужно умножить все элементы
первой строки ( a и a ) на соответствующие элементы
второго столбца ( b и b ) и полученные произведения
сложить; аналогично находятся элементы и c21 и c22
11
11
12
12
11
12
12
22
Найти произведение матриц третьего порядка.
a11 a12 a13
b11 b12 b13
c11 c12 c13
Пусть А = a21 a22 a23 , В = b21 b22 b23 , тогда С = АВ = c21 c22 c23 , где
c11
a a a
b b b
c c c
31 32 33
31 32 33
31 32 33
a11b11 a12b21 a13b31 ; c12 a11b12 a12b22 a13b32 ; c13 a11b13 a12b23 a13b33 ;
c21 a21b11 a22b21 a23b31 ; c22 a21b12 a22b22 a23b32 ; c23 a21b13 a22b23 a23b33 ;
c31 a31b11 a32b21 a33b31 ; c32 a31b12 a32b22 a33b32 ; c33 a31b13 a32b23 a33b33 .

8.

6. Свойства умножения матриц
1) Произведение двух матриц не подчиняется
переместительному закону, т. е. АВ ВА.
2) Для умножения матриц выполняется
сочетательный закон: А(ВС)=(АВ)С.
3) Выполняется
(А+В)С=АС+ВС.
распределительный закон:

9.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Вычислить линейные комбинации матриц 2А + 3В - С, если
2 1
, В =
3 4
А =
1 2
, С =
4 0
7 4
14 8
. Ответ:
.
18 8
36 16
2. Найти произведение матриц:
3 1 1 1
0 2
.
. Ответ:
1
2
5
1
3
1
а)
5 1
2 3
б)
2 0
. Ответ:
0 1
10 1
.
4 3
1 1 3 3 1 0
9 0 4
в) 0 2 1 0 1 1 . Ответ: 2 2 3 .
1 0 4 2 0 1
5 1 4